Theorem relelfvdm 5702

Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relelfvdm	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem relelfvdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5668	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)))
2		exsimpr 1667	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
3	1, 2	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
4		equsb1 1834	. . . . . . . 8 ⊢ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥
5		spsbbi 1893	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → [𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦)
7		nfv 1577	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵𝐹𝑥
8		breq2 4113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥))
9	7, 8	sbie 1840	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥)
10	6, 9	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → 𝐵𝐹𝑥)
11	10	eximi 1649	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
12	3, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
13	12	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
14		19.42v 1956	. . 3 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
15	13, 14	sylibr 134	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥))
16		releldm 4992	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
17	16	exlimiv 1647	. 2 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
18	15, 17	syl 14	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1396  ∃wex 1541  [wsb 1811   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  Rel wrel 4754  ‘cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  mptrcl  5760  elfvmptrab1  5772  elmpocl  6249  relmptopab  6256  oprssdmm  6365  mpoxopn0yelv  6470  eluzel2  9858  hashinfom  11141  basmex  13272  basmexd  13273  relelbasov  13275  ismgmn0  13571  rrgmex  14406  lssmex  14503  lidlmex  14623  2idlmex  14649  istopon  14878  istps  14897  topontopn  14902  eltg4i  14920  eltg3  14922  tg1  14924  tg2  14925  tgclb  14930  cldrcl  14967  neiss2  15007  lmrcl  15057  cnprcl2k  15071  metflem  15214  xmetf  15215  ismet2  15219  xmeteq0  15224  xmettri2  15226  xmetpsmet  15234  xmetres2  15244  blfvalps  15250  blex  15252  blvalps  15253  blval  15254  blfps  15274  blf  15275  mopnval  15307  isxms2  15317  comet  15364  1vgrex  16015  umgrnloopv  16109