ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relelfvdm GIF version

Theorem relelfvdm 5547
Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
relelfvdm ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem relelfvdm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfv 5513 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥)))
2 exsimpr 1618 . . . . . 6 (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥))
31, 2sylbi 121 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥))
4 equsb1 1785 . . . . . . . 8 [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥
5 spsbbi 1844 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥))
64, 5mpbiri 168 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → [𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦)
7 nfv 1528 . . . . . . . 8 𝑦 𝐵𝐹𝑥
8 breq2 4007 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝐹𝑦𝐵𝐹𝑥))
97, 8sbie 1791 . . . . . . 7 ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦𝐵𝐹𝑥)
106, 9sylib 122 . . . . . 6 (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → 𝐵𝐹𝑥)
1110eximi 1600 . . . . 5 (∃𝑥𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
123, 11syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
1312anim2i 342 . . 3 ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
14 19.42v 1906 . . 3 (∃𝑥(Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥) ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
1513, 14sylibr 134 . 2 ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥(Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥))
16 releldm 4862 . . 3 ((Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
1716exlimiv 1598 . 2 (∃𝑥(Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
1815, 17syl 14 1 ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wal 1351  wex 1492  [wsb 1762  wcel 2148   class class class wbr 4003  dom cdm 4626  Rel wrel 4631  cfv 5216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-rel 4633  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fv 5224
This theorem is referenced by:  mptrcl  5598  elfvmptrab1  5610  elmpocl  6068  oprssdmm  6171  mpoxopn0yelv  6239  eluzel2  9531  hashinfom  10753  basmex  12515  basmexd  12516  ismgmn0  12731  istopon  13404  istps  13423  topontopn  13428  eltg4i  13448  eltg3  13450  tg1  13452  tg2  13453  tgclb  13458  cldrcl  13495  neiss2  13535  lmrcl  13584  cnprcl2k  13599  metflem  13742  xmetf  13743  ismet2  13747  xmeteq0  13752  xmettri2  13754  xmetpsmet  13762  xmetres2  13772  blfvalps  13778  blex  13780  blvalps  13781  blval  13782  blfps  13802  blf  13803  mopnval  13835  isxms2  13845  comet  13892
  Copyright terms: Public domain W3C validator