Theorem relelfvdm 5548

Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relelfvdm	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem relelfvdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5514	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)))
2		exsimpr 1618	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
3	1, 2	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
4		equsb1 1785	. . . . . . . 8 ⊢ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥
5		spsbbi 1844	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → [𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦)
7		nfv 1528	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵𝐹𝑥
8		breq2 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥))
9	7, 8	sbie 1791	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥)
10	6, 9	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → 𝐵𝐹𝑥)
11	10	eximi 1600	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
12	3, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
13	12	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
14		19.42v 1906	. . 3 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
15	13, 14	sylibr 134	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥))
16		releldm 4863	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
17	16	exlimiv 1598	. 2 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
18	15, 17	syl 14	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351  ∃wex 1492  [wsb 1762   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  dom cdm 4627  Rel wrel 4632  ‘cfv 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-rel 4634  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fv 5225

This theorem is referenced by:  mptrcl  5599  elfvmptrab1  5611  elmpocl  6069  oprssdmm  6172  mpoxopn0yelv  6240  eluzel2  9533  hashinfom  10758  basmex  12521  basmexd  12522  ismgmn0  12777  istopon  13516  istps  13535  topontopn  13540  eltg4i  13558  eltg3  13560  tg1  13562  tg2  13563  tgclb  13568  cldrcl  13605  neiss2  13645  lmrcl  13694  cnprcl2k  13709  metflem  13852  xmetf  13853  ismet2  13857  xmeteq0  13862  xmettri2  13864  xmetpsmet  13872  xmetres2  13882  blfvalps  13888  blex  13890  blvalps  13891  blval  13892  blfps  13912  blf  13913  mopnval  13945  isxms2  13955  comet  14002