Theorem relelfvdm 5631

Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relelfvdm	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem relelfvdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5597	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)))
2		exsimpr 1642	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
3	1, 2	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
4		equsb1 1809	. . . . . . . 8 ⊢ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥
5		spsbbi 1868	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → [𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦)
7		nfv 1552	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵𝐹𝑥
8		breq2 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥))
9	7, 8	sbie 1815	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥)
10	6, 9	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → 𝐵𝐹𝑥)
11	10	eximi 1624	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
12	3, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
13	12	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
14		19.42v 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
15	13, 14	sylibr 134	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥))
16		releldm 4932	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
17	16	exlimiv 1622	. 2 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
18	15, 17	syl 14	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1371  ∃wex 1516  [wsb 1786   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  dom cdm 4693  Rel wrel 4698  ‘cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  mptrcl  5685  elfvmptrab1  5697  elmpocl  6164  oprssdmm  6280  mpoxopn0yelv  6348  eluzel2  9688  hashinfom  10960  basmex  13006  basmexd  13007  relelbasov  13009  ismgmn0  13305  rrgmex  14138  lssmex  14232  lidlmex  14352  2idlmex  14378  istopon  14600  istps  14619  topontopn  14624  eltg4i  14642  eltg3  14644  tg1  14646  tg2  14647  tgclb  14652  cldrcl  14689  neiss2  14729  lmrcl  14778  cnprcl2k  14793  metflem  14936  xmetf  14937  ismet2  14941  xmeteq0  14946  xmettri2  14948  xmetpsmet  14956  xmetres2  14966  blfvalps  14972  blex  14974  blvalps  14975  blval  14976  blfps  14996  blf  14997  mopnval  15029  isxms2  15039  comet  15086  1vgrex  15734  umgrnloopvv  15825