ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relelfvdm GIF version

Theorem relelfvdm 5586
Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
relelfvdm ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem relelfvdm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfv 5552 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥)))
2 exsimpr 1629 . . . . . 6 (∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥))
31, 2sylbi 121 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥))
4 equsb1 1796 . . . . . . . 8 [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥
5 spsbbi 1855 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥))
64, 5mpbiri 168 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → [𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦)
7 nfv 1539 . . . . . . . 8 𝑦 𝐵𝐹𝑥
8 breq2 4033 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝐹𝑦𝐵𝐹𝑥))
97, 8sbie 1802 . . . . . . 7 ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦𝐵𝐹𝑥)
106, 9sylib 122 . . . . . 6 (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → 𝐵𝐹𝑥)
1110eximi 1611 . . . . 5 (∃𝑥𝑦(𝐵𝐹𝑦𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
123, 11syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐹𝐵) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
1312anim2i 342 . . 3 ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
14 19.42v 1918 . . 3 (∃𝑥(Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥) ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
1513, 14sylibr 134 . 2 ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → ∃𝑥(Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥))
16 releldm 4897 . . 3 ((Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
1716exlimiv 1609 . 2 (∃𝑥(Rel 𝐹𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
1815, 17syl 14 1 ((Rel 𝐹𝐴 ∈ (𝐹𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wal 1362  wex 1503  [wsb 1773  wcel 2164   class class class wbr 4029  dom cdm 4659  Rel wrel 4664  cfv 5254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fv 5262
This theorem is referenced by:  mptrcl  5640  elfvmptrab1  5652  elmpocl  6113  oprssdmm  6224  mpoxopn0yelv  6292  eluzel2  9597  hashinfom  10849  basmex  12677  basmexd  12678  relelbasov  12680  ismgmn0  12941  rrgmex  13757  lssmex  13851  lidlmex  13971  2idlmex  13997  istopon  14181  istps  14200  topontopn  14205  eltg4i  14223  eltg3  14225  tg1  14227  tg2  14228  tgclb  14233  cldrcl  14270  neiss2  14310  lmrcl  14359  cnprcl2k  14374  metflem  14517  xmetf  14518  ismet2  14522  xmeteq0  14527  xmettri2  14529  xmetpsmet  14537  xmetres2  14547  blfvalps  14553  blex  14555  blvalps  14556  blval  14557  blfps  14577  blf  14578  mopnval  14610  isxms2  14620  comet  14667
  Copyright terms: Public domain W3C validator