Theorem relelfvdm 5727

Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relelfvdm	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem relelfvdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)))
2		exsimpr 1671	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
3	1, 2	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
4		equsb1 1838	. . . . . . . 8 ⊢ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥
5		spsbbi 1897	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → [𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦)
7		nfv 1581	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵𝐹𝑥
8		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥))
9	7, 8	sbie 1844	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥)
10	6, 9	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → 𝐵𝐹𝑥)
11	10	eximi 1653	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
12	3, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
13	12	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
14		19.42v 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
15	13, 14	sylibr 134	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥))
16		releldm 5017	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
17	16	exlimiv 1651	. 2 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
18	15, 17	syl 14	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1400  ∃wex 1545  [wsb 1815   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  Rel wrel 4779  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  relndmfv  5728  mptrcl  5788  elfvmptrab1  5801  elmpocl  6284  relmptopab  6291  oprssdmm  6405  mpoxopn0yelv  6510  eluzel2  9935  hashinfom  11231  basmex  13461  basmexd  13462  slotm  13464  relelbasov  13465  ismgmn0  13727  mgpplusg  14271  mgpbas  14274  ringidval  14314  opprringb  14435  rrgmex  14618  lssmex  14741  lidlmex  14861  2idlmex  14887  asclfval  15070  istopon  15163  istps  15182  topontopn  15187  eltg4i  15205  eltg3  15207  tg1  15209  tg2  15210  tgclb  15215  cldrcl  15252  neiss2  15292  lmrcl  15342  cnprcl2k  15356  metflem  15499  xmetf  15500  ismet2  15504  xmeteq0  15509  xmettri2  15511  xmetpsmet  15519  xmetres2  15529  blfvalps  15535  blex  15537  blvalps  15538  blval  15539  blfps  15559  blf  15560  mopnval  15592  isxms2  15602  comet  15649  1vgrex  16359  umgrnloopv  16453