Theorem relelfvdm 5549

Description: If a function value has a member, the argument belongs to the domain. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
relelfvdm	⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem relelfvdm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfv 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)))
2		exsimpr 1618	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
3	1, 2	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥))
4		equsb1 1785	. . . . . . . 8 ⊢ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥
5		spsbbi 1844	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ [𝑥 / 𝑦]𝑦 = 𝑥))
6	4, 5	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → [𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦)
7		nfv 1528	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵𝐹𝑥
8		breq2 4009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥))
9	7, 8	sbie 1791	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑥 / 𝑦]𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝐵𝐹𝑥)
10	6, 9	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → 𝐵𝐹𝑥)
11	10	eximi 1600	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∀𝑦(𝐵𝐹𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
12	3, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵) → ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥)
13	12	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
14		19.42v 1906	. . 3 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∃𝑥 𝐵𝐹𝑥))
15	13, 14	sylibr 134	. 2 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → ∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥))
16		releldm 4864	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
17	16	exlimiv 1598	. 2 ⊢ (∃𝑥(Rel 𝐹 ∧ 𝐵𝐹𝑥) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
18	15, 17	syl 14	1 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐹‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351  ∃wex 1492  [wsb 1762   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  dom cdm 4628  Rel wrel 4633  ‘cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  mptrcl  5600  elfvmptrab1  5612  elmpocl  6071  oprssdmm  6174  mpoxopn0yelv  6242  eluzel2  9535  hashinfom  10760  basmex  12523  basmexd  12524  ismgmn0  12782  istopon  13598  istps  13617  topontopn  13622  eltg4i  13640  eltg3  13642  tg1  13644  tg2  13645  tgclb  13650  cldrcl  13687  neiss2  13727  lmrcl  13776  cnprcl2k  13791  metflem  13934  xmetf  13935  ismet2  13939  xmeteq0  13944  xmettri2  13946  xmetpsmet  13954  xmetres2  13964  blfvalps  13970  blex  13972  blvalps  13973  blval  13974  blfps  13994  blf  13995  mopnval  14027  isxms2  14037  comet  14084