Theorem nfeq 2314

Description: Hypothesis builder for equality. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfnfc.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfeq.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfeq	⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem nfeq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcleq 2158	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
2		nfnfc.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	nfcri 2300	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ 𝐴
4		nfeq.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	4	nfcri 2300	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ 𝐵
6	3, 5	nfbi 1576	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵)
7	6	nfal 1563	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑧(𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵)
8	1, 7	nfxfr 1461	1 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 = 𝐵

Syntax hints:   ↔ wb 104  ∀wal 1340   = wceq 1342  Ⅎwnf 1447   ∈ wcel 2135  Ⅎwnfc 2293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295

This theorem is referenced by:  nfel  2315  nfeq1  2316  nfeq2  2318  nfne  2427  raleqf  2655  rexeqf  2656  reueq1f  2657  rmoeq1f  2658  rabeqf  2711  sbceqg  3056  csbhypf  3078  nfiotadw  5150  nffn  5278  nffo  5403  fvmptdf  5567  mpteqb  5570  fvmptf  5572  eqfnfv2f  5581  dff13f  5732  ovmpos  5956  ov2gf  5957  ovmpodxf  5958  ovmpodf  5964  eqerlem  6523  sumeq2  11286  fsumadd  11333  prodeq1f  11479  prodeq2  11484  txcnp  12812  cnmpt11  12824  cnmpt21  12832  cnmptcom  12839