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Theorem exmidfodomrlemr 7195
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → EXMID)
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1528 . . . . . . . . 9 𝑓(∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥)
2 nfe1 1496 . . . . . . . . 9 𝑓𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦
31, 2nfim 1572 . . . . . . . 8 𝑓((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦)
43nfal 1576 . . . . . . 7 𝑓𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦)
54nfal 1576 . . . . . 6 𝑓𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦)
6 nfv 1528 . . . . . 6 𝑓 𝑢 ⊆ {∅}
75, 6nfan 1565 . . . . 5 𝑓(∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅})
8 nfv 1528 . . . . 5 𝑓DECID ∅ ∈ 𝑢
9 simpl 109 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦))
10 p0ex 4185 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ V
11 ssdomg 6772 . . . . . . . . . . . 12 ({∅} ∈ V → (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅}))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅})
13 df1o2 6424 . . . . . . . . . . 11 1o = {∅}
1412, 13breqtrrdi 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ 1o)
15 1onn 6515 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ ω
16 domrefg 6761 . . . . . . . . . . 11 (1o ∈ ω → 1o ≼ 1o)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1o ≼ 1o
18 djudom 7086 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ≼ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
1914, 17, 18sylancl 413 . . . . . . . . 9 (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
20 dju1p1e2 7190 . . . . . . . . 9 (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
21 domentr 6785 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
2219, 20, 21sylancl 413 . . . . . . . 8 (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
2322adantl 277 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
24 0lt1o 6435 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 1o
25 djurcl 7045 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 1o → (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
27 elex2 2753 . . . . . . . 8 ((inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
2923, 28jctil 312 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
30 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
31 djuex 7036 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V)
3230, 15, 31mp2an 426 . . . . . . 7 (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V
33 2onn 6516 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
34 breq2 4004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 2o → (𝑦𝑥𝑦 ≼ 2o))
3534anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 2o → ((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o)))
36 foeq2 5431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 2o → (𝑓:𝑥onto𝑦𝑓:2oonto𝑦))
3736exbidv 1825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 2o → (∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦))
3835, 37imbi12d 234 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 2o → (((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦)))
3938albidv 1824 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 2o → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ↔ ∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦)))
4039spcgv 2824 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦)))
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦))
42 eleq2 2241 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
4342exbidv 1825 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑧 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
44 breq1 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑦 ≼ 2o ↔ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
4543, 44anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → ((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)))
46 foeq3 5432 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑓:2oonto𝑦𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)))
4746exbidv 1825 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)))
4845, 47imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))))
4948spcgv 2824 . . . . . . 7 ((𝑢 ⊔ 1o) ∈ V → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))))
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)))
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))
52 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inl‘∅)) → (𝑓‘∅) = (inl‘∅))
53 fof 5434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
5453adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
55 elelsuc 4406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ 1o → ∅ ∈ suc 1o)
5624, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ suc 1o
57 df-2o 6412 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = suc 1o
5856, 57eleqtrri 2253 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ 2o
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ∅ ∈ 2o)
6054, 59ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
6160adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inl‘∅)) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
6252, 61eqeltrrd 2255 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inl‘∅)) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
63 0ex 4127 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
64 djulclb 7048 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ V → (∅ ∈ 𝑢 ↔ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 𝑢 ↔ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
6662, 65sylibr 134 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inl‘∅)) → ∅ ∈ 𝑢)
6766orcd 733 . . . . . . 7 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inl‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
68 df-dc 835 . . . . . . 7 (DECID ∅ ∈ 𝑢 ↔ (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
6967, 68sylibr 134 . . . . . 6 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inl‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
70 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inl‘∅)) → (𝑓‘1o) = (inl‘∅))
7154adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
72 1oex 6419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1o ∈ V
7372prid2 3698 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o ∈ {∅, 1o}
74 df2o3 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o = {∅, 1o}
7573, 74eleqtrri 2253 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ 2o
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) → 1o ∈ 2o)
7771, 76ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . 12 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) → (𝑓‘1o) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
7877adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inl‘∅)) → (𝑓‘1o) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
7970, 78eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . 10 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inl‘∅)) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
8079, 65sylibr 134 . . . . . . . . 9 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inl‘∅)) → ∅ ∈ 𝑢)
8180orcd 733 . . . . . . . 8 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inl‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
8281, 68sylibr 134 . . . . . . 7 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inl‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
83 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . 12 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))
84 djulcl 7044 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝑢 → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
8584adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
86 foelrn 5748 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o) ∧ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓𝑤))
8783, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓𝑤))
88 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (inl‘∅) = (𝑓𝑤))
89 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → 𝑤 = ∅)
9089fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓𝑤) = (𝑓‘∅))
91 simp-5r 544 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘∅) = (inr‘∅))
9288, 90, 913eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (inl‘∅) = (inr‘∅))
93 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (inl‘∅) = (𝑓𝑤))
94 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → 𝑤 = 1o)
9594fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓𝑤) = (𝑓‘1o))
96 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘1o) = (inr‘∅))
9793, 95, 963eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (inl‘∅) = (inr‘∅))
98 elpri 3614 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {∅, 1o} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
9998, 74eleq2s 2272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ 2o → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
10099ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 (((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
10192, 97, 100mpjaodan 798 . . . . . . . . . . 11 (((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) → (inl‘∅) = (inr‘∅))
10287, 101rexlimddv 2599 . . . . . . . . . 10 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → (inl‘∅) = (inr‘∅))
103 djune 7071 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (inl‘∅) ≠ (inr‘∅))
10463, 63, 103mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 (inl‘∅) ≠ (inr‘∅)
105104neii 2349 . . . . . . . . . . 11 ¬ (inl‘∅) = (inr‘∅)
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ¬ (inl‘∅) = (inr‘∅))
107102, 106pm2.65da 661 . . . . . . . . 9 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑢)
108107olcd 734 . . . . . . . 8 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
109108, 68sylibr 134 . . . . . . 7 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
110 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ {∅})
111110, 13sseqtrrdi 3204 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ 1o)
112111adantr 276 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) → 𝑢 ⊆ 1o)
113112, 77exmidfodomrlemeldju 7192 . . . . . . 7 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) → ((𝑓‘1o) = (inl‘∅) ∨ (𝑓‘1o) = (inr‘∅)))
11482, 109, 113mpjaodan 798 . . . . . 6 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
115111, 60exmidfodomrlemeldju 7192 . . . . . 6 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ((𝑓‘∅) = (inl‘∅) ∨ (𝑓‘∅) = (inr‘∅)))
11669, 114, 115mpjaodan 798 . . . . 5 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
1177, 8, 51, 116exlimdd 1872 . . . 4 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
118117ex 115 . . 3 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → (𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
119118alrimiv 1874 . 2 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
120 df-exmid 4192 . 2 (EXMID ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
121119, 120sylibr 134 1 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → EXMID)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  wal 1351   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wne 2347  wrex 2456  Vcvv 2737  wss 3129  c0 3422  {csn 3591  {cpr 3592   class class class wbr 4000  EXMIDwem 4191  suc csuc 4362  ωcom 4586  wf 5208  ontowfo 5210  cfv 5212  1oc1o 6404  2oc2o 6405  cen 6732  cdom 6733  cdju 7030  inlcinl 7038  inrcinr 7039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-exmid 4192  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7197
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