Theorem exmidfodomrlemrALT 7327

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7326. In particular, this proof uses eldju 7185 instead of djur 7186 and avoids djulclb 7172. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1552	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓(∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥)
2		nfe1 1520	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦
3	1, 2	nfim 1596	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
4	3	nfal 1600	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
5	4	nfal 1600	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
6		nfv 1552	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑢 ⊆ {∅}
7	5, 6	nfan 1589	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅})
8		nfv 1552	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓DECID ∅ ∈ 𝑢
9		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦))
10		p0ex 4240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ∈ V
11		ssdomg 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅})
13		df1o2 6528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
14	12, 13	breqtrrdi 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ 1o)
15		1onn 6619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
16		domrefg 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ≼ 1o)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≼ 1o
18		djudom 7210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ≼ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
19	14, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
20		dju1p1e2 7321	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
21		domentr 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
24		0lt1o 6539	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 1o
25		djurcl 7169	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 1o → (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
27		elex2 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
29	23, 28	jctil 312	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
30		vex 2776	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
31		djuex 7160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V)
32	30, 15, 31	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V
33		2onn 6620	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
34		breq2 4055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ 2o))
35	34	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o)))
36		foeq2 5507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→𝑦))
37	36	exbidv 1849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → (∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
38	35, 37	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 2o → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
39	38	albidv 1848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2o → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
40	39	spcgv 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
42		eleq2 2270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
43	42	exbidv 1849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
44		breq1 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑦 ≼ 2o ↔ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
45	43, 44	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)))
46		foeq3 5508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
47	46	exbidv 1849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
48	45, 47	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
49	48	spcgv 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ⊔ 1o) ∈ V → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
52		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
53	52	orcd 735	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
54		df-dc 837	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∅ ∈ 𝑢 ↔ (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
55	53, 54	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
56		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
57	56	orcd 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
58	57, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
59		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
60		djulcl 7168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
62		foelrn 5834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) ∧ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
64		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
65		fvres 5613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (inl‘∅))
66	65	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
68	64, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → 𝑤 = ∅)
71	70	fveq2d 5593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘∅))
72		simp-5r 544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
73	69, 71, 72	3eqtrd 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
74	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → 𝑤 = 1o)
76	75	fveq2d 5593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘1o))
77		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
79		elpri 3661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ {∅, 1o} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
80		df2o3 6529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o = {∅, 1o}
81	79, 80	eleq2s 2301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 2o → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
82	81	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
83	73, 78, 82	mpjaodan 800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
84	63, 83	rexlimddv 2629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
85		0ex 4179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ V
86		djune 7195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (inl‘∅) ≠ (inr‘∅))
87	85, 85, 86	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (inl‘∅) ≠ (inr‘∅)
88	87	neii 2379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ (inl‘∅) = (inr‘∅)
89		fvres 5613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ 1o → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅)
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
92	65, 91	eqeq12d 2221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅) ↔ (inl‘∅) = (inr‘∅)))
93	88, 92	mtbiri 677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
95	84, 94	pm2.65da 663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑢)
96	95	olcd 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
97	96, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
98		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ {∅})
99	98, 13	sseqtrrdi 3246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ 1o)
100	99	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑢 ⊆ 1o)
101		fof 5510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
104		1oex 6523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
105	104	prid2 3745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
106	105, 80	eleqtrri 2282	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 1o ∈ 2o)
108	103, 107	ffvelcdmd 5729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (𝑓‘1o) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7324	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
110	58, 97, 109	mpjaodan 800	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
111		elelsuc 4464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 1o → ∅ ∈ suc 1o)
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ suc 1o
113		df-2o 6516	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2282	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ∅ ∈ 2o)
116	102, 115	ffvelcdmd 5729	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7324	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
118	55, 110, 117	mpjaodan 800	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1896	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
120	119	ex 115	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → (𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
121	120	alrimiv 1898	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
122		df-exmid 4247	. 2 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
123	121, 122	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836  ∀wal 1371   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∃wrex 2486  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ∅c0 3464  {csn 3638  {cpr 3639   class class class wbr 4051  EXMIDwem 4246  suc csuc 4420  ωcom 4646   ↾ cres 4685  ⟶wf 5276  –onto→wfo 5278  ‘cfv 5280  1_oc1o 6508  2_oc2o 6509   ≈ cen 6838   ≼ cdom 6839   ⊔ cdju 7154  inlcinl 7162  inrcinr 7163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-exmid 4247  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-1o 6515  df-2o 6516  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-dju 7155  df-inl 7164  df-inr 7165  df-case 7201

This theorem is referenced by: (None)