Theorem exmidfodomrlemrALT 7076

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7075. In particular, this proof uses eldju 6961 instead of djur 6962 and avoids djulclb 6948. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1509	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓(∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥)
2		nfe1 1473	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦
3	1, 2	nfim 1552	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
4	3	nfal 1556	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
5	4	nfal 1556	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
6		nfv 1509	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑢 ⊆ {∅}
7	5, 6	nfan 1545	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅})
8		nfv 1509	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓DECID ∅ ∈ 𝑢
9		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦))
10		p0ex 4120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ∈ V
11		ssdomg 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅})
13		df1o2 6334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
14	12, 13	breqtrrdi 3978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ 1o)
15		1onn 6424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
16		domrefg 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ≼ 1o)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≼ 1o
18		djudom 6986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ≼ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
19	14, 17, 18	sylancl 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
20		dju1p1e2 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
21		domentr 6693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
22	19, 20, 21	sylancl 410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
23	22	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
24		0lt1o 6345	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 1o
25		djurcl 6945	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 1o → (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
27		elex2 2705	. . . . . . . 8 ⊢ ((inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
29	23, 28	jctil 310	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
30		vex 2692	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
31		djuex 6936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V)
32	30, 15, 31	mp2an 423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V
33		2onn 6425	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
34		breq2 3941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ 2o))
35	34	anbi2d 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o)))
36		foeq2 5350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→𝑦))
37	36	exbidv 1798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → (∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
38	35, 37	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 2o → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
39	38	albidv 1797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2o → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
40	39	spcgv 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
42		eleq2 2204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
43	42	exbidv 1798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
44		breq1 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑦 ≼ 2o ↔ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
45	43, 44	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)))
46		foeq3 5351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
47	46	exbidv 1798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
48	45, 47	imbi12d 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
49	48	spcgv 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ⊔ 1o) ∈ V → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
52		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
53	52	orcd 723	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
54		df-dc 821	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∅ ∈ 𝑢 ↔ (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
55	53, 54	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
56		simprl 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
57	56	orcd 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
58	57, 54	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
59		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
60		djulcl 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
62		foelrn 5662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) ∧ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
63	59, 61, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
64		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
65		fvres 5453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (inl‘∅))
66	65	eqeq1d 2149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
67	66	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
68	64, 67	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
70		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → 𝑤 = ∅)
71	70	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘∅))
72		simp-5r 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
73	69, 71, 72	3eqtrd 2177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
74	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
75		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → 𝑤 = 1o)
76	75	fveq2d 5433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘1o))
77		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
79		elpri 3555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ {∅, 1o} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
80		df2o3 6335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o = {∅, 1o}
81	79, 80	eleq2s 2235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 2o → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
82	81	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
83	73, 78, 82	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
84	63, 83	rexlimddv 2557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
85		0ex 4063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ V
86		djune 6971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (inl‘∅) ≠ (inr‘∅))
87	85, 85, 86	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (inl‘∅) ≠ (inr‘∅)
88	87	neii 2311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ (inl‘∅) = (inr‘∅)
89		fvres 5453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ 1o → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅)
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
92	65, 91	eqeq12d 2155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅) ↔ (inl‘∅) = (inr‘∅)))
93	88, 92	mtbiri 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
94	93	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
95	84, 94	pm2.65da 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑢)
96	95	olcd 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
97	96, 54	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
98		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ {∅})
99	98, 13	sseqtrrdi 3151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ 1o)
100	99	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑢 ⊆ 1o)
101		fof 5353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
102	101	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
103	102	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
104		1oex 6329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
105	104	prid2 3638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
106	105, 80	eleqtrri 2216	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 1o ∈ 2o)
108	103, 107	ffvelrnd 5564	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (𝑓‘1o) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7073	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
110	58, 97, 109	mpjaodan 788	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
111		elelsuc 4339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 1o → ∅ ∈ suc 1o)
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ suc 1o
113		df-2o 6322	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2216	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ∅ ∈ 2o)
116	102, 115	ffvelrnd 5564	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7073	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
118	55, 110, 117	mpjaodan 788	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1845	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
120	119	ex 114	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → (𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
121	120	alrimiv 1847	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
122		df-exmid 4127	. 2 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
123	121, 122	sylibr 133	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820  ∀wal 1330   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ∃wrex 2418  Vcvv 2689   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  {csn 3532  {cpr 3533   class class class wbr 3937  EXMIDwem 4126  suc csuc 4295  ωcom 4512   ↾ cres 4549  ⟶wf 5127  –onto→wfo 5129  ‘cfv 5131  1_oc1o 6314  2_oc2o 6315   ≈ cen 6640   ≼ cdom 6641   ⊔ cdju 6930  inlcinl 6938  inrcinr 6939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-exmid 4127  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-2o 6322  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941  df-case 6977

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