Theorem exmidfodomrlemrALT 7232

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7231. In particular, this proof uses eldju 7097 instead of djur 7098 and avoids djulclb 7084. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓(∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥)
2		nfe1 1507	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦
3	1, 2	nfim 1583	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
4	3	nfal 1587	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
5	4	nfal 1587	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
6		nfv 1539	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑢 ⊆ {∅}
7	5, 6	nfan 1576	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅})
8		nfv 1539	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓DECID ∅ ∈ 𝑢
9		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦))
10		p0ex 4206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ∈ V
11		ssdomg 6804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅})
13		df1o2 6454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
14	12, 13	breqtrrdi 4060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ 1o)
15		1onn 6545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
16		domrefg 6793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ≼ 1o)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≼ 1o
18		djudom 7122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ≼ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
19	14, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
20		dju1p1e2 7226	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
21		domentr 6817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
24		0lt1o 6465	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 1o
25		djurcl 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 1o → (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
27		elex2 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
29	23, 28	jctil 312	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
30		vex 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
31		djuex 7072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V)
32	30, 15, 31	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V
33		2onn 6546	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
34		breq2 4022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ 2o))
35	34	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o)))
36		foeq2 5454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→𝑦))
37	36	exbidv 1836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → (∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
38	35, 37	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 2o → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
39	38	albidv 1835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2o → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
40	39	spcgv 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
42		eleq2 2253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
43	42	exbidv 1836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
44		breq1 4021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑦 ≼ 2o ↔ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
45	43, 44	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)))
46		foeq3 5455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
47	46	exbidv 1836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
48	45, 47	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
49	48	spcgv 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ⊔ 1o) ∈ V → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
52		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
53	52	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
54		df-dc 836	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∅ ∈ 𝑢 ↔ (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
55	53, 54	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
56		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
57	56	orcd 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
58	57, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
59		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
60		djulcl 7080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
62		foelrn 5774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) ∧ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
64		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
65		fvres 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (inl‘∅))
66	65	eqeq1d 2198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
68	64, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → 𝑤 = ∅)
71	70	fveq2d 5538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘∅))
72		simp-5r 544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
73	69, 71, 72	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
74	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → 𝑤 = 1o)
76	75	fveq2d 5538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘1o))
77		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
79		elpri 3630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ {∅, 1o} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
80		df2o3 6455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o = {∅, 1o}
81	79, 80	eleq2s 2284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 2o → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
82	81	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
83	73, 78, 82	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
84	63, 83	rexlimddv 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
85		0ex 4145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ V
86		djune 7107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (inl‘∅) ≠ (inr‘∅))
87	85, 85, 86	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (inl‘∅) ≠ (inr‘∅)
88	87	neii 2362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ (inl‘∅) = (inr‘∅)
89		fvres 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ 1o → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅)
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
92	65, 91	eqeq12d 2204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅) ↔ (inl‘∅) = (inr‘∅)))
93	88, 92	mtbiri 676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
95	84, 94	pm2.65da 662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑢)
96	95	olcd 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
97	96, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
98		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ {∅})
99	98, 13	sseqtrrdi 3219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ 1o)
100	99	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑢 ⊆ 1o)
101		fof 5457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
104		1oex 6449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
105	104	prid2 3714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
106	105, 80	eleqtrri 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 1o ∈ 2o)
108	103, 107	ffvelcdmd 5673	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (𝑓‘1o) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
110	58, 97, 109	mpjaodan 799	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
111		elelsuc 4427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 1o → ∅ ∈ suc 1o)
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ suc 1o
113		df-2o 6442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ∅ ∈ 2o)
116	102, 115	ffvelcdmd 5673	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7229	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
118	55, 110, 117	mpjaodan 799	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1883	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
120	119	ex 115	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → (𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
121	120	alrimiv 1885	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
122		df-exmid 4213	. 2 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
123	121, 122	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835  ∀wal 1362   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∃wrex 2469  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  {csn 3607  {cpr 3608   class class class wbr 4018  EXMIDwem 4212  suc csuc 4383  ωcom 4607   ↾ cres 4646  ⟶wf 5231  –onto→wfo 5233  ‘cfv 5235  1_oc1o 6434  2_oc2o 6435   ≈ cen 6764   ≼ cdom 6765   ⊔ cdju 7066  inlcinl 7074  inrcinr 7075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-exmid 4213  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-dju 7067  df-inl 7076  df-inr 7077  df-case 7113

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