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Theorem exmidfodomrlemrALT 7027
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7026. In particular, this proof uses eldju 6921 instead of djur 6922 and avoids djulclb 6908. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemrALT (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → EXMID)
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT
Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1493 . . . . . . . . 9 𝑓(∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥)
2 nfe1 1457 . . . . . . . . 9 𝑓𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦
31, 2nfim 1536 . . . . . . . 8 𝑓((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦)
43nfal 1540 . . . . . . 7 𝑓𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦)
54nfal 1540 . . . . . 6 𝑓𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦)
6 nfv 1493 . . . . . 6 𝑓 𝑢 ⊆ {∅}
75, 6nfan 1529 . . . . 5 𝑓(∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅})
8 nfv 1493 . . . . 5 𝑓DECID ∅ ∈ 𝑢
9 simpl 108 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦))
10 p0ex 4082 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ V
11 ssdomg 6640 . . . . . . . . . . . 12 ({∅} ∈ V → (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅}))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅})
13 df1o2 6294 . . . . . . . . . . 11 1o = {∅}
1412, 13breqtrrdi 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ 1o)
15 1onn 6384 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ ω
16 domrefg 6629 . . . . . . . . . . 11 (1o ∈ ω → 1o ≼ 1o)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1o ≼ 1o
18 djudom 6946 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ≼ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
1914, 17, 18sylancl 409 . . . . . . . . 9 (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
20 dju1p1e2 7021 . . . . . . . . 9 (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
21 domentr 6653 . . . . . . . . 9 (((𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
2219, 20, 21sylancl 409 . . . . . . . 8 (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
2322adantl 275 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
24 0lt1o 6305 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 1o
25 djurcl 6905 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 1o → (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
27 elex2 2676 . . . . . . . 8 ((inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
2923, 28jctil 310 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
30 vex 2663 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
31 djuex 6896 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V)
3230, 15, 31mp2an 422 . . . . . . 7 (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V
33 2onn 6385 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
34 breq2 3903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 2o → (𝑦𝑥𝑦 ≼ 2o))
3534anbi2d 459 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 2o → ((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) ↔ (∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o)))
36 foeq2 5312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 2o → (𝑓:𝑥onto𝑦𝑓:2oonto𝑦))
3736exbidv 1781 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 2o → (∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦))
3835, 37imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 2o → (((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦)))
3938albidv 1780 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 2o → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ↔ ∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦)))
4039spcgv 2747 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦)))
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦))
42 eleq2 2181 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
4342exbidv 1781 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑧 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
44 breq1 3902 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑦 ≼ 2o ↔ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
4543, 44anbi12d 464 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → ((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)))
46 foeq3 5313 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑓:2oonto𝑦𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)))
4746exbidv 1781 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)))
4845, 47imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))))
4948spcgv 2747 . . . . . . 7 ((𝑢 ⊔ 1o) ∈ V → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))))
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)))
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∃𝑓 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))
52 simprl 505 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
5352orcd 707 . . . . . . 7 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
54 df-dc 805 . . . . . . 7 (DECID ∅ ∈ 𝑢 ↔ (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
5553, 54sylibr 133 . . . . . 6 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
56 simprl 505 . . . . . . . . 9 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
5756orcd 707 . . . . . . . 8 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
5857, 54sylibr 133 . . . . . . 7 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
59 simp-4r 516 . . . . . . . . . . . 12 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o))
60 djulcl 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝑢 → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
6160adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
62 foelrn 5622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o) ∧ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓𝑤))
6359, 61, 62syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓𝑤))
64 simprr 506 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) → (inl‘∅) = (𝑓𝑤))
65 fvres 5413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∈ 𝑢 → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (inl‘∅))
6665eqeq1d 2126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓𝑤)))
6766ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓𝑤)))
6864, 67mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓𝑤))
6968adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓𝑤))
70 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → 𝑤 = ∅)
7170fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓𝑤) = (𝑓‘∅))
72 simp-5r 518 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
7369, 71, 723eqtrd 2154 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
7468adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓𝑤))
75 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → 𝑤 = 1o)
7675fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓𝑤) = (𝑓‘1o))
77 simp-4r 516 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
7874, 76, 773eqtrd 2154 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
79 elpri 3520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ {∅, 1o} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
80 df2o3 6295 . . . . . . . . . . . . . 14 2o = {∅, 1o}
8179, 80eleq2s 2212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ 2o → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
8281ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
8373, 78, 82mpjaodan 772 . . . . . . . . . . 11 (((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
8463, 83rexlimddv 2531 . . . . . . . . . 10 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
85 0ex 4025 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ∈ V
86 djune 6931 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (inl‘∅) ≠ (inr‘∅))
8785, 85, 86mp2an 422 . . . . . . . . . . . . 13 (inl‘∅) ≠ (inr‘∅)
8887neii 2287 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (inl‘∅) = (inr‘∅)
89 fvres 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∈ 1o → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
9024, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅)
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝑢 → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
9265, 91eqeq12d 2132 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅) ↔ (inl‘∅) = (inr‘∅)))
9388, 92mtbiri 649 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ 𝑢 → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
9493adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
9584, 94pm2.65da 635 . . . . . . . . 9 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑢)
9695olcd 708 . . . . . . . 8 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
9796, 54sylibr 133 . . . . . . 7 (((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
98 simplr 504 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ {∅})
9998, 13sseqtrrdi 3116 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ 1o)
10099adantr 274 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑢 ⊆ 1o)
101 fof 5315 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
102101adantl 275 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
103102adantr 274 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
104 1oex 6289 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ V
105104prid2 3600 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ {∅, 1o}
106105, 80eleqtrri 2193 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
107106a1i 9 . . . . . . . . 9 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 1o ∈ 2o)
108103, 107ffvelrnd 5524 . . . . . . . 8 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (𝑓‘1o) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
109100, 108exmidfodomrlemreseldju 7024 . . . . . . 7 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
11058, 97, 109mpjaodan 772 . . . . . 6 ((((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
111 elelsuc 4301 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∈ 1o → ∅ ∈ suc 1o)
11224, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ suc 1o
113 df-2o 6282 . . . . . . . . . 10 2o = suc 1o
114112, 113eleqtrri 2193 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ 2o
115114a1i 9 . . . . . . . 8 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ∅ ∈ 2o)
116102, 115ffvelrnd 5524 . . . . . . 7 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
11799, 116exmidfodomrlemreseldju 7024 . . . . . 6 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
11855, 110, 117mpjaodan 772 . . . . 5 (((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2oonto→(𝑢 ⊔ 1o)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
1197, 8, 51, 118exlimdd 1828 . . . 4 ((∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
120119ex 114 . . 3 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → (𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
121120alrimiv 1830 . 2 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
122 df-exmid 4089 . 2 (EXMID ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
123121, 122sylibr 133 1 (∀𝑥𝑦((∃𝑧 𝑧𝑦𝑦𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥onto𝑦) → EXMID)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  DECID wdc 804  wal 1314   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  wne 2285  wrex 2394  Vcvv 2660  wss 3041  c0 3333  {csn 3497  {cpr 3498   class class class wbr 3899  EXMIDwem 4088  suc csuc 4257  ωcom 4474  cres 4511  wf 5089  ontowfo 5091  cfv 5093  1oc1o 6274  2oc2o 6275  cen 6600  cdom 6601  cdju 6890  inlcinl 6898  inrcinr 6899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-exmid 4089  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-1o 6281  df-2o 6282  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-dju 6891  df-inl 6900  df-inr 6901  df-case 6937
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