Theorem exmidfodomrlemrALT 7310

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7309. In particular, this proof uses eldju 7169 instead of djur 7170 and avoids djulclb 7156. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1550	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓(∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥)
2		nfe1 1518	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑓∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦
3	1, 2	nfim 1594	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
4	3	nfal 1598	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
5	4	nfal 1598	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦)
6		nfv 1550	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑢 ⊆ {∅}
7	5, 6	nfan 1587	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅})
8		nfv 1550	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓DECID ∅ ∈ 𝑢
9		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦))
10		p0ex 4231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ∈ V
11		ssdomg 6869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅}))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ {∅})
13		df1o2 6514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = {∅}
14	12, 13	breqtrrdi 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → 𝑢 ≼ 1o)
15		1onn 6605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
16		domrefg 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → 1o ≼ 1o)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≼ 1o
18		djudom 7194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ≼ 1o ∧ 1o ≼ 1o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
19	14, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o))
20		dju1p1e2 7304	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o
21		domentr 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑢 ⊔ 1o) ≼ (1o ⊔ 1o) ∧ (1o ⊔ 1o) ≈ 2o) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ⊆ {∅} → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)
24		0lt1o 6525	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 1o
25		djurcl 7153	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ 1o → (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
27		elex2 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((inr‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)
29	23, 28	jctil 312	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
30		vex 2774	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
31		djuex 7144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V)
32	30, 15, 31	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ⊔ 1o) ∈ V
33		2onn 6606	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
34		breq2 4047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑦 ≼ 𝑥 ↔ 𝑦 ≼ 2o))
35	34	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o)))
36		foeq2 5494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 2o → (𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→𝑦))
37	36	exbidv 1847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 2o → (∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
38	35, 37	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 2o → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
39	38	albidv 1846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 2o → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ↔ ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
40	39	spcgv 2859	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦)))
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦))
42		eleq2 2268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
43	42	exbidv 1847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o)))
44		breq1 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑦 ≼ 2o ↔ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o))
45	43, 44	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) ↔ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o)))
46		foeq3 5495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
47	46	exbidv 1847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
48	45, 47	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑢 ⊔ 1o) → (((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) ↔ ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
49	48	spcgv 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ⊔ 1o) ∈ V → (∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))))
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ((∃𝑧 𝑧 ∈ (𝑢 ⊔ 1o) ∧ (𝑢 ⊔ 1o) ≼ 2o) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)))
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → ∃𝑓 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
52		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
53	52	orcd 734	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
54		df-dc 836	. . . . . . 7 ⊢ (DECID ∅ ∈ 𝑢 ↔ (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
55	53, 54	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
56		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → ∅ ∈ 𝑢)
57	56	orcd 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
58	57, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅))) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
59		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o))
60		djulcl 7152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
62		foelrn 5820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) ∧ (inl‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o)) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ∃𝑤 ∈ 2o (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
64		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))
65		fvres 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (inl‘∅))
66	65	eqeq1d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤) ↔ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤)))
68	64, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → 𝑤 = ∅)
71	70	fveq2d 5579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘∅))
72		simp-5r 544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
73	69, 71, 72	3eqtrd 2241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = ∅) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
74	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = (𝑓‘𝑤))
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → 𝑤 = 1o)
76	75	fveq2d 5579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘𝑤) = (𝑓‘1o))
77		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
78	74, 76, 77	3eqtrd 2241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) ∧ 𝑤 = 1o) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
79		elpri 3655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ {∅, 1o} → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
80		df2o3 6515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o = {∅, 1o}
81	79, 80	eleq2s 2299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 2o → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
82	81	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → (𝑤 = ∅ ∨ 𝑤 = 1o))
83	73, 78, 82	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) ∧ (𝑤 ∈ 2o ∧ (inl‘∅) = (𝑓‘𝑤))) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
84	63, 83	rexlimddv 2627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
85		0ex 4170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ∈ V
86		djune 7179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (inl‘∅) ≠ (inr‘∅))
87	85, 85, 86	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (inl‘∅) ≠ (inr‘∅)
88	87	neii 2377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ (inl‘∅) = (inr‘∅)
89		fvres 5599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∈ 1o → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅)
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ((inr ↾ 1o)‘∅) = (inr‘∅))
92	65, 91	eqeq12d 2219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → (((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅) ↔ (inl‘∅) = (inr‘∅)))
93	88, 92	mtbiri 676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 𝑢 → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ ∅ ∈ 𝑢) → ¬ ((inl ↾ 𝑢)‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅))
95	84, 94	pm2.65da 662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑢)
96	95	olcd 735	. . . . . . . 8 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (∅ ∈ 𝑢 ∨ ¬ ∅ ∈ 𝑢))
97	96, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) ∧ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
98		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ {∅})
99	98, 13	sseqtrrdi 3241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑢 ⊆ 1o)
100	99	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑢 ⊆ 1o)
101		fof 5497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 𝑓:2o⟶(𝑢 ⊔ 1o))
104		1oex 6509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ V
105	104	prid2 3739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
106	105, 80	eleqtrri 2280	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → 1o ∈ 2o)
108	103, 107	ffvelcdmd 5715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → (𝑓‘1o) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7307	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘1o) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘1o) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
110	58, 97, 109	mpjaodan 799	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) ∧ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
111		elelsuc 4455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ 1o → ∅ ∈ suc 1o)
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ suc 1o
113		df-2o 6502	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2280	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ∅ ∈ 2o)
116	102, 115	ffvelcdmd 5715	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑢 ⊔ 1o))
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7307	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → ((∅ ∈ 𝑢 ∧ (𝑓‘∅) = ((inl ↾ 𝑢)‘∅)) ∨ (𝑓‘∅) = ((inr ↾ 1o)‘∅)))
118	55, 110, 117	mpjaodan 799	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:2o–onto→(𝑢 ⊔ 1o)) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1894	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) ∧ 𝑢 ⊆ {∅}) → DECID ∅ ∈ 𝑢)
120	119	ex 115	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → (𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
121	120	alrimiv 1896	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
122		df-exmid 4238	. 2 ⊢ (EXMID ↔ ∀𝑢(𝑢 ⊆ {∅} → DECID ∅ ∈ 𝑢))
123	121, 122	sylibr 134	1 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝑥–onto→𝑦) → EXMID)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835  ∀wal 1370   = wceq 1372  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ∃wrex 2484  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  {csn 3632  {cpr 3633   class class class wbr 4043  EXMIDwem 4237  suc csuc 4411  ωcom 4637   ↾ cres 4676  ⟶wf 5266  –onto→wfo 5268  ‘cfv 5270  1_oc1o 6494  2_oc2o 6495   ≈ cen 6824   ≼ cdom 6825   ⊔ cdju 7138  inlcinl 7146  inrcinr 7147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-exmid 4238  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-1o 6501  df-2o 6502  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-dju 7139  df-inl 7148  df-inr 7149  df-case 7185

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