Theorem relsnop 4653

Description: A singleton of an ordered pair is a relation. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
relsnop.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
relsnop	⊢ Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem relsnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		relsnop.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	opelvv 4597	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (V × V)
4	1, 2	opex 4159	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
5	4	relsn 4652	. 2 ⊢ (Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (V × V))
6	3, 5	mpbir 145	1 ⊢ Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  {csn 3532  ⟨cop 3535   × cxp 4545  Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554

This theorem is referenced by:  cnvsn  5029  fsn  5600