Theorem mndideu 12832

Description: The two-sided identity element of a monoid is unique. Lemma 2.2.1(a) of [Herstein] p. 55. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndideu	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥, + ,𝑢   𝑢,𝐵   𝑢,𝐺   𝑢, +

Proof of Theorem mndideu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	mndid 12831	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥))
4		mgmidmo 12796	. 2 ⊢ ∃*𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥)
5		reu5 2690	. 2 ⊢ (∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥) ↔ (∃𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥) ∧ ∃*𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥)))
6	3, 4, 5	sylanblrc 416	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∃!𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑢 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑢) = 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ∃!wreu 2457  ∃*wrmo 2458  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +_gcplusg 12538  Mndcmnd 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823

This theorem is referenced by:  grpideu  12893  srgideu  13160  ringideu  13205