ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrealeu GIF version

Theorem elrealeu 7346
Description: The real number mapping in elreal 7345 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
elrealeu (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elrealeu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7345 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
21biimpi 118 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
3 eqtr3 2107 . . . . . . . 8 ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
4 0r 7275 . . . . . . . . . 10 0RR
5 opthg 4056 . . . . . . . . . 10 ((𝑥R ∧ 0RR) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
64, 5mpan2 416 . . . . . . . . 9 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
76ad2antlr 473 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) ∧ 𝑦R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
83, 7syl5ib 152 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) ∧ 𝑦R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
9 simpl 107 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R) → 𝑥 = 𝑦)
108, 9syl6 33 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) ∧ 𝑦R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
1110ralrimiva 2446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥R) → ∀𝑦R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
1211ralrimiva 2446 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑥R𝑦R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
13 opeq1 3617 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
1413eqeq1d 2096 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴))
1514rmo4 2806 . . . 4 (∃*𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∀𝑥R𝑦R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
1612, 15sylibr 132 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃*𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
17 reu5 2579 . . 3 (∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ (∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ∃*𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
182, 16, 17sylanbrc 408 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
19 reurex 2580 . . 3 (∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2019, 1sylibr 132 . 2 (∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴𝐴 ∈ ℝ)
2118, 20impbii 124 1 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  ∃!wreu 2361  ∃*wrmo 2362  cop 3444  Rcnr 6835  0Rc0r 6836  cr 7328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-enr 7251  df-nr 7252  df-0r 7256  df-r 7339
This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7409  axcaucvglemval  7411
  Copyright terms: Public domain W3C validator