Theorem elrealeu 7846

Description: The real number mapping in elreal 7845 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
3		eqtr3 2209	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
4		0r 7767	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0R ∈ R
5		opthg 4253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
8	3, 7	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
9		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R) → 𝑥 = 𝑦)
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	ralrimiva 2563	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) → ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	ralrimiva 2563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
13		opeq1 3793	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
14	13	eqeq1d 2198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴))
15	14	rmo4 2945	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
16	12, 15	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
17		reu5 2703	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
18	2, 16, 17	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
19		reurex 2704	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
20	19, 1	sylibr 134	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 20	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469  ∃!wreu 2470  ∃*wrmo 2471  ⟨cop 3610  Rcnr 7314  0_Rc0r 7315  ℝcr 7828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-pli 7322  df-mi 7323  df-lti 7324  df-plpq 7361  df-mpq 7362  df-enq 7364  df-nqqs 7365  df-plqqs 7366  df-mqqs 7367  df-1nqqs 7368  df-rq 7369  df-ltnqqs 7370  df-inp 7483  df-i1p 7484  df-enr 7743  df-nr 7744  df-0r 7748  df-r 7839

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7912  axcaucvglemval  7914