Theorem elrealeu 7891

Description: The real number mapping in elreal 7890 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7890	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
3		eqtr3 2213	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
4		0r 7812	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0R ∈ R
5		opthg 4268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
8	3, 7	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
9		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R) → 𝑥 = 𝑦)
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) → ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	ralrimiva 2567	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
13		opeq1 3805	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
14	13	eqeq1d 2202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴))
15	14	rmo4 2954	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
16	12, 15	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
17		reu5 2711	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
18	2, 16, 17	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
19		reurex 2712	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
20	19, 1	sylibr 134	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 20	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ∃!wreu 2474  ∃*wrmo 2475  ⟨cop 3622  Rcnr 7359  0_Rc0r 7360  ℝcr 7873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-inp 7528  df-i1p 7529  df-enr 7788  df-nr 7789  df-0r 7793  df-r 7884

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7957  axcaucvglemval  7959