Theorem elrealeu 7913

Description: The real number mapping in elreal 7912 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elrealeu	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elrealeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7912	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
3		eqtr3 2216	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
4		0r 7834	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0R ∈ R
5		opthg 4272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
7	6	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩ ↔ (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
8	3, 7	imbitrid 154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R)))
9		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 0R = 0R) → 𝑥 = 𝑦)
10	8, 9	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) ∧ 𝑦 ∈ R) → ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	ralrimiva 2570	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ R) → ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
13		opeq1 3809	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ⟨𝑥, 0R⟩ = ⟨𝑦, 0R⟩)
14	13	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴))
15	14	rmo4 2957	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R ((⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
16	12, 15	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
17		reu5 2714	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ∧ ∃*𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
18	2, 16, 17	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
19		reurex 2715	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
20	19, 1	sylibr 134	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → 𝐴 ∈ ℝ)
21	18, 20	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃!𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∃!wreu 2477  ∃*wrmo 2478  ⟨cop 3626  Rcnr 7381  0_Rc0r 7382  ℝcr 7895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-enr 7810  df-nr 7811  df-0r 7815  df-r 7906

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcl  7979  axcaucvglemval  7981