Theorem divalglemeuneg 12564

Description: Lemma for divalg 12565. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemeuneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemeuneg

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 < 0)
2	1	lt0ne0d 8752	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ≠ 0)
3		divalglemex 12563	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4	2, 3	syld3an3 1319	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5		nfv 1577	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑞((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
6		nfre1 2576	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))
7		nfv 1577	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞 𝑟 = 𝑠
8	6, 7	nfim 1621	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑞(∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠)
9		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → (𝑞 · 𝐷) = (𝑡 · 𝐷))
10	9	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠) = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
11	10	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠) ↔ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)))
12	11	3anbi3d 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → ((0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) ↔ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))))
13	12	cbvrexv 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)))
14		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 < 𝑡) → 𝑞 < 𝑡)
15		simp2 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℤ)
17	15	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℝ)
18	17	lt0neg1d 8754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
19	1, 18	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 0 < -𝐷)
20		elnnz 9550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝐷 ∈ ℕ ↔ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐷))
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℕ)
22	21	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → -𝐷 ∈ ℕ)
23		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈ ℤ)
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
25		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 ∈ ℤ)
27		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑡 ∈ ℤ)
28	27	znegcld 9665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → -𝑡 ∈ ℤ)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑞 ∈ ℤ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℤ)
31	30	znegcld 9665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → -𝑞 ∈ ℤ)
32		simpr1 1030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 0 ≤ 𝑟)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 0 ≤ 𝑟)
34		simpr2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑠 < (abs‘𝐷))
35		simpll2 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
36	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ∈ ℤ)
37	36	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ∈ ℝ)
38		0red 8240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 0 ∈ ℝ)
39		simpll3 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝐷 < 0)
40	39	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 < 0)
41	37, 38, 40	ltled 8357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ≤ 0)
42	37, 41	absnidd 11800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (abs‘𝐷) = -𝐷)
43	34, 42	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑠 < -𝐷)
44		simpr3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
45	27	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑡 ∈ ℂ)
46	36	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ∈ ℂ)
47	45, 46	mul2negd 8651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (-𝑡 · -𝐷) = (𝑡 · 𝐷))
48	47	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠) = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
49	44, 48	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠))
50		simpr3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
52	30	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℂ)
53	52, 46	mul2negd 8651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (-𝑞 · -𝐷) = (𝑞 · 𝐷))
54	53	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
55	51, 54	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟))
56	49, 55	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠) = ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟))
57	22, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56	divalglemnqt 12561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ -𝑡 < -𝑞)
58	30	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℝ)
59	27	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑡 ∈ ℝ)
60	58, 59	ltnegd 8762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (𝑞 < 𝑡 ↔ -𝑡 < -𝑞))
61	57, 60	mtbird 680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ 𝑞 < 𝑡)
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 < 𝑡) → ¬ 𝑞 < 𝑡)
63	14, 62	pm2.21dd 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 < 𝑡) → 𝑟 = 𝑠)
64	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝐷 ∈ ℤ)
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑟 ∈ ℤ)
66	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑠 ∈ ℤ)
67	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑞 ∈ ℤ)
68	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑡 ∈ ℤ)
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑞 = 𝑡)
70	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
71	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
72	70, 71	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
73	64, 65, 66, 67, 68, 69, 72	divalglemqt 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑟 = 𝑠)
74		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
75		simpr1 1030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 0 ≤ 𝑠)
76		simpr2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
78	77, 42	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 < -𝐷)
79	55, 49	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟) = ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠))
80	22, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79	divalglemnqt 12561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ -𝑞 < -𝑡)
81	59, 58	ltnegd 8762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (𝑡 < 𝑞 ↔ -𝑞 < -𝑡))
82	80, 81	mtbird 680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
84	74, 83	pm2.21dd 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑟 = 𝑠)
85		simplr 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 𝑞 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℤ)
87		ztri3or 9583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑞 < 𝑡 ∨ 𝑞 = 𝑡 ∨ 𝑡 < 𝑞))
88	86, 27, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (𝑞 < 𝑡 ∨ 𝑞 = 𝑡 ∨ 𝑡 < 𝑞))
89	63, 73, 84, 88	mpjao3dan 1344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠)
90	89	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))
91	90	rexlimdva 2651	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → (∃𝑡 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))
92	13, 91	biimtrid 152	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))
93	92	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑞 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))))
94	5, 8, 93	rexlimd 2648	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠)))
95	94	impd 254	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠))
96	95	ralrimivva 2615	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∀𝑟 ∈ ℤ ∀𝑠 ∈ ℤ ((∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠))
97		breq2 4097	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (0 ≤ 𝑟 ↔ 0 ≤ 𝑠))
98		breq1 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑠 < (abs‘𝐷)))
99		oveq2 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))
100	99	eqeq2d 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)))
101	97, 98, 100	3anbi123d 1349	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))))
102	101	rexbidv 2534	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))))
103	102	rmo4 3000	. . 3 ⊢ (∃*𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℤ ∀𝑠 ∈ ℤ ((∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠))
104	96, 103	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃*𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
105		reu5 2752	. 2 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃*𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
106	4, 104, 105	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  ∃!wreu 2513  ∃*wrmo 2514   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8092   + caddc 8095   · cmul 8097   < clt 8273   ≤ cle 8274  -cneg 8410  ℕcn 9202  ℤcz 9540  abscabs 11637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  divalg  12565