Theorem divalglemeuneg 12088

Description: Lemma for divalg 12089. Uniqueness for a negative denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemeuneg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemeuneg

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 < 0)
2	1	lt0ne0d 8540	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ≠ 0)
3		divalglemex 12087	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4	2, 3	syld3an3 1294	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5		nfv 1542	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑞((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
6		nfre1 2540	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))
7		nfv 1542	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑞 𝑟 = 𝑠
8	6, 7	nfim 1586	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑞(∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠)
9		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → (𝑞 · 𝐷) = (𝑡 · 𝐷))
10	9	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠) = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
11	10	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠) ↔ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)))
12	11	3anbi3d 1329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑡 → ((0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) ↔ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))))
13	12	cbvrexv 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)))
14		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 < 𝑡) → 𝑞 < 𝑡)
15		simp2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℤ)
17	15	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℝ)
18	17	lt0neg1d 8542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
19	1, 18	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → 0 < -𝐷)
20		elnnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-𝐷 ∈ ℕ ↔ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐷))
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℕ)
22	21	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → -𝐷 ∈ ℕ)
23		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈ ℤ)
24	23	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
25		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 ∈ ℤ)
27		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑡 ∈ ℤ)
28	27	znegcld 9450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → -𝑡 ∈ ℤ)
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑞 ∈ ℤ)
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℤ)
31	30	znegcld 9450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → -𝑞 ∈ ℤ)
32		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 0 ≤ 𝑟)
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 0 ≤ 𝑟)
34		simpr2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑠 < (abs‘𝐷))
35		simpll2 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
36	35	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ∈ ℤ)
37	36	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ∈ ℝ)
38		0red 8027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 0 ∈ ℝ)
39		simpll3 1040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝐷 < 0)
40	39	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 < 0)
41	37, 38, 40	ltled 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ≤ 0)
42	37, 41	absnidd 11325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (abs‘𝐷) = -𝐷)
43	34, 42	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑠 < -𝐷)
44		simpr3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
45	27	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑡 ∈ ℂ)
46	36	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝐷 ∈ ℂ)
47	45, 46	mul2negd 8439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (-𝑡 · -𝐷) = (𝑡 · 𝐷))
48	47	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠) = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
49	44, 48	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠))
50		simpr3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
52	30	zcnd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℂ)
53	52, 46	mul2negd 8439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (-𝑞 · -𝐷) = (𝑞 · 𝐷))
54	53	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
55	51, 54	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑁 = ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟))
56	49, 55	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠) = ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟))
57	22, 24, 26, 28, 31, 33, 43, 56	divalglemnqt 12085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ -𝑡 < -𝑞)
58	30	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℝ)
59	27	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑡 ∈ ℝ)
60	58, 59	ltnegd 8550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (𝑞 < 𝑡 ↔ -𝑡 < -𝑞))
61	57, 60	mtbird 674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ 𝑞 < 𝑡)
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 < 𝑡) → ¬ 𝑞 < 𝑡)
63	14, 62	pm2.21dd 621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 < 𝑡) → 𝑟 = 𝑠)
64	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝐷 ∈ ℤ)
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑟 ∈ ℤ)
66	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑠 ∈ ℤ)
67	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑞 ∈ ℤ)
68	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑡 ∈ ℤ)
69		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑞 = 𝑡)
70	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
71	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
72	70, 71	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))
73	64, 65, 66, 67, 68, 69, 72	divalglemqt 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑞 = 𝑡) → 𝑟 = 𝑠)
74		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑡 < 𝑞)
75		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 0 ≤ 𝑠)
76		simpr2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
78	77, 42	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 < -𝐷)
79	55, 49	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ((-𝑞 · -𝐷) + 𝑟) = ((-𝑡 · -𝐷) + 𝑠))
80	22, 26, 24, 31, 28, 75, 78, 79	divalglemnqt 12085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ -𝑞 < -𝑡)
81	59, 58	ltnegd 8550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (𝑡 < 𝑞 ↔ -𝑞 < -𝑡))
82	80, 81	mtbird 674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → ¬ 𝑡 < 𝑞)
84	74, 83	pm2.21dd 621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) ∧ 𝑡 < 𝑞) → 𝑟 = 𝑠)
85		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → 𝑞 ∈ ℤ)
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑞 ∈ ℤ)
87		ztri3or 9369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑞 < 𝑡 ∨ 𝑞 = 𝑡 ∨ 𝑡 < 𝑞))
88	86, 27, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → (𝑞 < 𝑡 ∨ 𝑞 = 𝑡 ∨ 𝑡 < 𝑞))
89	63, 73, 84, 88	mpjao3dan 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠)
90	89	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))
91	90	rexlimdva 2614	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → (∃𝑡 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑡 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))
92	13, 91	biimtrid 152	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))
93	92	exp31 364	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑞 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠))))
94	5, 8, 93	rexlimd 2611	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)) → 𝑟 = 𝑠)))
95	94	impd 254	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠))
96	95	ralrimivva 2579	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∀𝑟 ∈ ℤ ∀𝑠 ∈ ℤ ((∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠))
97		breq2 4037	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (0 ≤ 𝑟 ↔ 0 ≤ 𝑠))
98		breq1 4036	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑠 < (abs‘𝐷)))
99		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))
100	99	eqeq2d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠)))
101	97, 98, 100	3anbi123d 1323	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))))
102	101	rexbidv 2498	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))))
103	102	rmo4 2957	. . 3 ⊢ (∃*𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℤ ∀𝑠 ∈ ℤ ((∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑠 ∧ 𝑠 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑠))) → 𝑟 = 𝑠))
104	96, 103	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃*𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
105		reu5 2714	. 2 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ∧ ∃*𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
106	4, 104, 105	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 < 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 979   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∃!wreu 2477  ∃*wrmo 2478   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  0cc0 7879   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062  -cneg 8198  ℕcn 8990  ℤcz 9326  abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  divalg  12089