ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemeu GIF version

Theorem bezoutlemeu 11089
Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemgcd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝐷 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
Assertion
Ref Expression
bezoutlemeu (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝐴,𝑑,𝑧   𝐵,𝑑,𝑧   𝜑,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐷(𝑑)

Proof of Theorem bezoutlemeu
Dummy variables 𝑒 𝑤 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemgcd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 bezoutlemgcd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 bezoutlembi 11087 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
4 simpl 107 . . . . 5 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
54reximi 2470 . . . 4 (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
63, 5syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
71, 2, 6syl2anc 403 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
81ad2antrr 472 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
92ad2antrr 472 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10 simplrl 502 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
11 simprl 498 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
12 breq1 3840 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑑𝑤𝑑))
13 breq1 3840 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
14 breq1 3840 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐵𝑤𝐵))
1513, 14anbi12d 457 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴𝑧𝐵) ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1612, 15bibi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))))
1716cbvralv 2590 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
1811, 17sylib 120 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑑 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
19 simplrr 503 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
20 simprr 499 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
21 breq1 3840 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑒𝑤𝑒))
2221, 15bibi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑤𝑒 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵))))
2322cbvralv 2590 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑒 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
2420, 23sylib 120 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤𝑒 ↔ (𝑤𝐴𝑤𝐵)))
258, 9, 10, 18, 19, 24bezoutlemmo 11088 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))) → 𝑑 = 𝑒)
2625ex 113 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0)) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
2726ralrimivva 2455 . . 3 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
28 breq2 3841 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (𝑧𝑑𝑧𝑒))
2928bibi1d 231 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → ((𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
3029ralbidv 2380 . . . 4 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
3130rmo4 2806 . . 3 (∃*𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ ∀𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑒 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
3227, 31sylibr 132 . 2 (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
33 reu5 2579 . 2 (∃!𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)) ∧ ∃*𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵))))
347, 32, 33sylanbrc 408 1 (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ (𝑧𝑑 ↔ (𝑧𝐴𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  ∃!wreu 2361  ∃*wrmo 2362   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   + caddc 7332   · cmul 7334  0cn0 8643  cz 8720  cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10890
This theorem is referenced by:  dfgcd3  11092  bezout  11093
  Copyright terms: Public domain W3C validator