Theorem bezoutlemeu 11534

Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝐴,𝑑,𝑧   𝐵,𝑑,𝑧   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐷(𝑑)

Proof of Theorem bezoutlemeu

Dummy variables 𝑒 𝑤 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		bezoutlemgcd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		bezoutlembi 11532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
4		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5	4	reximi 2501	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
7	1, 2, 6	syl2anc 406	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
8	1	ad2antrr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	2	ad2antrr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrl 507	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
11		simprl 503	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
12		breq1 3896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
13		breq1 3896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
14		breq1 3896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
15	13, 14	anbi12d 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
16	12, 15	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
17	16	cbvralv 2626	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
18	11, 17	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19		simplrr 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
20		simprr 504	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
21		breq1 3896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ 𝑤 ∥ 𝑒))
22	21, 15	bibi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
23	22	cbvralv 2626	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
24	20, 23	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
25	8, 9, 10, 18, 19, 24	bezoutlemmo 11533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 = 𝑒)
26	25	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
27	26	ralrimivva 2486	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
28		breq2 3897	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑒))
29	28	bibi1d 232	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
30	29	ralbidv 2409	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
31	30	rmo4 2844	. . 3 ⊢ (∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
32	27, 31	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
33		reu5 2615	. 2 ⊢ (∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
34	7, 32, 33	sylanbrc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ∀wral 2388  ∃wrex 2389  ∃!wreu 2390  ∃*wrmo 2391   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   + caddc 7543   · cmul 7545  ℕ₀cn0 8874  ℤcz 8951   ∥ cdvds 11334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656  ax-arch 7657  ax-caucvg 7658

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-frec 6239  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-q 9307  df-rp 9337  df-fz 9677  df-fl 9929  df-mod 9982  df-seqfrec 10105  df-exp 10179  df-cj 10500  df-re 10501  df-im 10502  df-rsqrt 10655  df-abs 10656  df-dvds 11335

This theorem is referenced by:  dfgcd3  11537  bezout  11538