Theorem bezoutlemeu 12658

Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝐴,𝑑,𝑧   𝐵,𝑑,𝑧   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐷(𝑑)

Proof of Theorem bezoutlemeu

Dummy variables 𝑒 𝑤 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		bezoutlemgcd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		bezoutlembi 12656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5	4	reximi 2630	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
8	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	2	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
11		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
12		breq1 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
13		breq1 4096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
14		breq1 4096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
17	16	cbvralv 2768	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
18	11, 17	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
20		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
21		breq1 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ 𝑤 ∥ 𝑒))
22	21, 15	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
23	22	cbvralv 2768	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
24	20, 23	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
25	8, 9, 10, 18, 19, 24	bezoutlemmo 12657	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 = 𝑒)
26	25	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
27	26	ralrimivva 2615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
28		breq2 4097	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑒))
29	28	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
30	29	ralbidv 2533	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
31	30	rmo4 3000	. . 3 ⊢ (∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
32	27, 31	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
33		reu5 2752	. 2 ⊢ (∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
34	7, 32, 33	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  ∃!wreu 2513  ∃*wrmo 2514   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   + caddc 8095   · cmul 8097  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540   ∥ cdvds 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429

This theorem is referenced by:  dfgcd3  12661  bezout  12662