Theorem bezoutlemeu 12577

Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝐴,𝑑,𝑧   𝐵,𝑑,𝑧   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐷(𝑑)

Proof of Theorem bezoutlemeu

Dummy variables 𝑒 𝑤 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		bezoutlemgcd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		bezoutlembi 12575	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5	4	reximi 2629	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
8	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	2	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
11		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
12		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
13		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
14		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
17	16	cbvralv 2767	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
18	11, 17	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
20		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
21		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ 𝑤 ∥ 𝑒))
22	21, 15	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
23	22	cbvralv 2767	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
24	20, 23	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
25	8, 9, 10, 18, 19, 24	bezoutlemmo 12576	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 = 𝑒)
26	25	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
27	26	ralrimivva 2614	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
28		breq2 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑒))
29	28	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
30	29	ralbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
31	30	rmo4 2999	. . 3 ⊢ (∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
32	27, 31	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
33		reu5 2751	. 2 ⊢ (∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
34	7, 32, 33	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  ∃!wreu 2512  ∃*wrmo 2513   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   + caddc 8034   · cmul 8036  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  dfgcd3  12580  bezout  12581