Theorem bezoutlemeu 12703

Description: Lemma for Bézout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemgcd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
bezoutlemgcd.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
bezoutlemgcd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝐷 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝐴,𝑑,𝑧   𝐵,𝑑,𝑧   𝜑,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐷(𝑑)

Proof of Theorem bezoutlemeu

Dummy variables 𝑒 𝑤 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemgcd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		bezoutlemgcd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		bezoutlembi 12701	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
4		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
5	4	reximi 2639	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
8	1	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
9	2	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
10		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
11		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
12		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑤 ∥ 𝑑))
13		breq1 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐴 ↔ 𝑤 ∥ 𝐴))
14		breq1 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝐵 ↔ 𝑤 ∥ 𝐵))
15	13, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵) ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
16	12, 15	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
17	16	cbvralv 2778	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
18	11, 17	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑑 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
19		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
20		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
21		breq1 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ 𝑤 ∥ 𝑒))
22	21, 15	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵))))
23	22	cbvralv 2778	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
24	20, 23	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → ∀𝑤 ∈ ℤ (𝑤 ∥ 𝑒 ↔ (𝑤 ∥ 𝐴 ∧ 𝑤 ∥ 𝐵)))
25	8, 9, 10, 18, 19, 24	bezoutlemmo 12702	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) ∧ (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))) → 𝑑 = 𝑒)
26	25	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ∈ ℕ0 ∧ 𝑒 ∈ ℕ0)) → ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
27	26	ralrimivva 2624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
28		breq2 4113	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ 𝑧 ∥ 𝑒))
29	28	bibi1d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
30	29	ralbidv 2542	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
31	30	rmo4 3010	. . 3 ⊢ (∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ ∀𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑒 ∈ ℕ0 ((∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑒 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))) → 𝑑 = 𝑒))
32	27, 31	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))
33		reu5 2762	. 2 ⊢ (∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)) ∧ ∃*𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵))))
34	7, 32, 33	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑑 ∈ ℕ0 ∀𝑧 ∈ ℤ (𝑧 ∥ 𝑑 ↔ (𝑧 ∥ 𝐴 ∧ 𝑧 ∥ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  ∃!wreu 2522  ∃*wrmo 2523   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   + caddc 8130   · cmul 8132  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577   ∥ cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  dfgcd3  12706  bezout  12707