Theorem ismgmid 13020

Description: The identity element of a magma, if it exists, belongs to the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ismgmid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ismgmid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mgmidcl.e	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
ismgmid	⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)) ↔ 0 = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑒, +   0 ,𝑒,𝑥   𝐵,𝑒,𝑥   𝑒,𝐺,𝑥   𝑈,𝑒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑒)

Proof of Theorem ismgmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → 𝑈 ∈ 𝐵)
2		mgmidcl.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
3		mgmidmo 13015	. . . . 5 ⊢ ∃*𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)
4		reu5 2714	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ (∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ∧ ∃*𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
5	2, 3, 4	sylanblrc 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
6		oveq1 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → (𝑒 + 𝑥) = (𝑈 + 𝑥))
7	6	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑈 + 𝑥) = 𝑥))
8	7	ovanraleqv 5946	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)))
9	8	riota2 5900	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥) ↔ (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈))
10	1, 5, 9	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥) ↔ (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈))
11	10	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)) ↔ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈)))
12		riotacl 5892	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) → (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ∈ 𝐵)
13	5, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ∈ 𝐵)
14		eleq1 2259	. . . 4 ⊢ ((℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈 → ((℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) ∈ 𝐵 ↔ 𝑈 ∈ 𝐵))
15	13, 14	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈 → 𝑈 ∈ 𝐵))
16	15	pm4.71rd 394	. 2 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈 ↔ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈)))
17		df-riota 5877	. . . 4 ⊢ (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)))
18		rexm 3550	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) → ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐵)
19	2, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐵)
20		ismgmid.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
21	20	basmex 12737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
22	21	exlimiv 1612	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑒 𝑒 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ V)
23	19, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
24		ismgmid.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
25		ismgmid.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	20, 24, 25	grpidvalg 13016	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → 0 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))))
27	23, 26	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))))
28	17, 27	eqtr4id 2248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 0 )
29	28	eqeq1d 2205	. 2 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥)) = 𝑈 ↔ 0 = 𝑈))
30	11, 16, 29	3bitr2d 216	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)) ↔ 0 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∃!wreu 2477  ∃*wrmo 2478  Vcvv 2763  ℩cio 5217  ‘cfv 5258  ℩crio 5876  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  0_gc0g 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-0g 12929

This theorem is referenced by:  mgmidcl  13021  mgmlrid  13022  ismgmid2  13023  mgmidsssn0  13027  issrgid  13537  isringid  13581