Theorem rereceu 8099

Description: The reciprocal from axprecex 8090 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rereceu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rereceu

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axprecex 8090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
3	2	reximi 2627	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
5		eqtr3 2249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
6		axprecex 8090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
8		axresscn 8070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	sselid 3223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	8, 11	sselid 3223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		axmulcom 8081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
15		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	8, 15	sselid 3223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
17		axmulcom 8081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
18	10, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
19	14, 18	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
21		oveq1 6020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧))
22	20, 21	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧)))
23	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	8, 25	sselid 3223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
27		axmulass 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
28	23, 24, 26, 27	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
29	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		axmulass 8083	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
31	29, 24, 26, 30	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
32	28, 31	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) ↔ (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
33	22, 32	sylibd 149	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
34		oveq2 6021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
35	34	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
36		ax1rid 8087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
37	11, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
38	35, 37	sylan9eqr 2284	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑥)
39		oveq2 6021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
40	39	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
41		ax1rid 8087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
42	41	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 · 1) = 𝑦)
43	40, 42	sylan9eqr 2284	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑦)
44	38, 43	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
45	33, 44	sylibd 149	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46	7, 45	rexlimddv 2653	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
47	5, 46	syl5 32	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
48	47	ralrimivva 2612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
49		oveq2 6021	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
50	49	eqeq1d 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑦) = 1))
51	50	rmo4 2997	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
52	48, 51	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
53		reu5 2749	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
54	4, 52, 53	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ∃!wreu 2510  ∃*wrmo 2511   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   <_ℝ cltrr 8026   · cmul 8027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516  df-lti 7517  df-plpq 7554  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-plqqs 7559  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561  df-rq 7562  df-ltnqqs 7563  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-0nq0 7636  df-plq0 7637  df-mq0 7638  df-inp 7676  df-i1p 7677  df-iplp 7678  df-imp 7679  df-iltp 7680  df-enr 7936  df-nr 7937  df-plr 7938  df-mr 7939  df-ltr 7940  df-0r 7941  df-1r 7942  df-m1r 7943  df-c 8028  df-0 8029  df-1 8030  df-r 8032  df-mul 8034  df-lt 8035

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