Theorem rereceu 8220

Description: The reciprocal from axprecex 8211 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rereceu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rereceu

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axprecex 8211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
3	2	reximi 2641	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
5		eqtr3 2254	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
6		axprecex 8211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
8		axresscn 8191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	sselid 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simprl 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	8, 11	sselid 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		axmulcom 8202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
15		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	8, 15	sselid 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
17		axmulcom 8202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
18	10, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
19	14, 18	eqeq12d 2249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
21		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧))
22	20, 21	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧)))
23	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	8, 25	sselid 3240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
27		axmulass 8204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
28	23, 24, 26, 27	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
29	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		axmulass 8204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
31	29, 24, 26, 30	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
32	28, 31	eqeq12d 2249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) ↔ (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
33	22, 32	sylibd 149	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
34		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
35	34	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
36		ax1rid 8208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
37	11, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
38	35, 37	sylan9eqr 2289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑥)
39		oveq2 6066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
40	39	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
41		ax1rid 8208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
42	41	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 · 1) = 𝑦)
43	40, 42	sylan9eqr 2289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑦)
44	38, 43	eqeq12d 2249	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
45	33, 44	sylibd 149	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46	7, 45	rexlimddv 2667	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
47	5, 46	syl5 32	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
48	47	ralrimivva 2626	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
49		oveq2 6066	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
50	49	eqeq1d 2243	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑦) = 1))
51	50	rmo4 3013	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
52	48, 51	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
53		reu5 2764	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
54	4, 52, 53	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  ∃!wreu 2524  ∃*wrmo 2525   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   <_ℝ cltrr 8147   · cmul 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-imp 7800  df-iltp 7801  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-mr 8060  df-ltr 8061  df-0r 8062  df-1r 8063  df-m1r 8064  df-c 8149  df-0 8150  df-1 8151  df-r 8153  df-mul 8155  df-lt 8156

This theorem is referenced by:  recriota  8221