Theorem rereceu 7956

Description: The reciprocal from axprecex 7947 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rereceu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rereceu

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axprecex 7947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
3	2	reximi 2594	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
5		eqtr3 2216	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
6		axprecex 7947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
7	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
8		axresscn 7927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	sselid 3181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	8, 11	sselid 3181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		axmulcom 7938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
15		simprr 531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
16	8, 15	sselid 3181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
17		axmulcom 7938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
18	10, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
19	14, 18	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
21		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧))
22	20, 21	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧)))
23	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
26	8, 25	sselid 3181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
27		axmulass 7940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
28	23, 24, 26, 27	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
29	16	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		axmulass 7940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
31	29, 24, 26, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
32	28, 31	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) ↔ (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
33	22, 32	sylibd 149	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
34		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
35	34	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
36		ax1rid 7944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
37	11, 36	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
38	35, 37	sylan9eqr 2251	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑥)
39		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
40	39	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
41		ax1rid 7944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
42	41	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 · 1) = 𝑦)
43	40, 42	sylan9eqr 2251	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑦)
44	38, 43	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
45	33, 44	sylibd 149	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 <ℝ 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
46	7, 45	rexlimddv 2619	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
47	5, 46	syl5 32	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
48	47	ralrimivva 2579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
49		oveq2 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
50	49	eqeq1d 2205	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑦) = 1))
51	50	rmo4 2957	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
52	48, 51	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
53		reu5 2714	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
54	4, 52, 53	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <ℝ 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∃!wreu 2477  ∃*wrmo 2478   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   <_ℝ cltrr 7883   · cmul 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-imp 7536  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-mr 7796  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799  df-m1r 7800  df-c 7885  df-0 7886  df-1 7887  df-r 7889  df-mul 7891  df-lt 7892

This theorem is referenced by:  recriota  7957