Theorem dedekindeu 13768

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7456 except that the the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
2		dedekindeu.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
3		dedekindeu.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
4		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
5		dedekindeu.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
6		dedekindeu.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindeu.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
8		dedekindeu.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dedekindeulemlu 13766	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
10	1	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ ℝ)
11	2	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ ℝ)
12	3	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
13	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
14	5	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15	6	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	7	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
17	8	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
18		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
23		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
29	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 25, 27, 28	dedekindeulemeu 13767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
30	1	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ ℝ)
31	2	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ ℝ)
32	3	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
33	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
34	5	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
35	6	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
36	7	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
37	8	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
38	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
40	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
42		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
43	30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	dedekindeulemeu 13767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
44		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
45		reaplt 8535	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
46	19, 24, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	29, 43, 47	mpjaodan 798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
49	48	inegd 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
50		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	recnd 7976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℂ)
52		simplrr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	recnd 7976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℂ)
54		apti 8569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
57	56	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralrimivva 2559	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
59		breq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑦))
60	59	ralbidv 2477	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦))
61		breq1 4003	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑦 < 𝑟))
62	61	ralbidv 2477	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
63	60, 62	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
64	63	rmo4 2930	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
65	58, 64	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
66		reu5 2689	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
67	9, 65, 66	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353  ⊥wfal 1358   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ∃!wreu 2457  ∃*wrmo 2458   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422   class class class wbr 4000  ℂcc 7800  ℝcr 7801   < clt 7982   # cap 8528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-suploc 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529

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