Theorem dedekindeu 15480

Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7780 except that the the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindeu.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindeu.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindeu.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dedekindeu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindeu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindeu.lss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ ℝ)
2		dedekindeu.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ ℝ)
3		dedekindeu.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
4		dedekindeu.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
5		dedekindeu.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
6		dedekindeu.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
7		dedekindeu.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
8		dedekindeu.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	dedekindeulemlu 15478	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
10	1	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ ℝ)
11	2	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ ℝ)
12	3	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
13	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
14	5	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
15	6	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
16	7	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
17	8	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
18		simprl 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
23		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
28		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
29	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 25, 27, 28	dedekindeulemeu 15479	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
30	1	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ ℝ)
31	2	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ ℝ)
32	3	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞 ∈ 𝐿)
33	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟 ∈ 𝑈)
34	5	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
35	6	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
36	7	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
37	8	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
38	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
40	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
41	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
42		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
43	30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	dedekindeulemeu 15479	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
44		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
45		reaplt 8861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
46	19, 24, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	29, 43, 47	mpjaodan 806	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
49	48	inegd 1417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
50		simplrl 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
51	50	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℂ)
52		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	recnd 8301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℂ)
54		apti 8895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
57	56	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralrimivva 2624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
59		breq2 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑦))
60	59	ralbidv 2542	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦))
61		breq1 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑦 < 𝑟))
62	61	ralbidv 2542	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
63	60, 62	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
64	63	rmo4 3009	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
65	58, 64	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
66		reu5 2761	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
67	9, 65, 66	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398  ⊥wfal 1403   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  ∃!wreu 2522  ∃*wrmo 2523   ∩ cin 3209   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507   class class class wbr 4108  ℂcc 8124  ℝcr 8125   < clt 8307   # cap 8854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-suploc 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855

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