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Theorem dedekindeu 12784
Description: A Dedekind cut identifies a unique real number. Similar to df-inp 7286 except that the the Dedekind cut is formed by sets of reals (rather than positive rationals). But in both cases the defining property of a Dedekind cut is that it is inhabited (bounded), rounded, disjoint, and located. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindeu.lss (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
dedekindeu.uss (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
dedekindeu.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
dedekindeu.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
dedekindeu.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindeu.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindeu.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dedekindeu (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindeu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindeu.lss . . 3 (𝜑𝐿 ⊆ ℝ)
2 dedekindeu.uss . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
3 dedekindeu.lm . . 3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
4 dedekindeu.um . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
5 dedekindeu.lr . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
6 dedekindeu.ur . . 3 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
7 dedekindeu.disj . . 3 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
8 dedekindeu.loc . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dedekindeulemlu 12782 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
101ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ ℝ)
112ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ ℝ)
123ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
134ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
145ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
156ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
167ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿𝑈) = ∅)
178ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
18 simprl 520 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
2019adantr 274 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 simprl 520 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
2221ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
23 simprr 521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2524adantr 274 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 simprr 521 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
2726ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
28 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
2910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 25, 27, 28dedekindeulemeu 12783 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
301ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ ℝ)
312ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ ℝ)
323ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ ℝ 𝑞𝐿)
334ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ 𝑟𝑈)
345ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
356ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
367ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿𝑈) = ∅)
378ad4antr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ ℝ ∀𝑟 ∈ ℝ (𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
3824adantr 274 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
3926ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
4019adantr 274 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
4121ad2antrr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
42 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
4330, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42dedekindeulemeu 12783 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
44 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
45 reaplt 8362 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
4619, 24, 45syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
4744, 46mpbid 146 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
4829, 43, 47mpjaodan 787 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
4948inegd 1350 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
50 simplrl 524 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
5150recnd 7806 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℂ)
52 simplrr 525 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℝ)
5352recnd 7806 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ ℂ)
54 apti 8396 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
5551, 53, 54syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
5649, 55mpbird 166 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
5756ex 114 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
5857ralrimivva 2514 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
59 breq2 3933 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥𝑞 < 𝑦))
6059ralbidv 2437 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦))
61 breq1 3932 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟𝑦 < 𝑟))
6261ralbidv 2437 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
6360, 62anbi12d 464 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
6463rmo4 2877 . . 3 (∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
6558, 64sylibr 133 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
66 reu5 2643 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)))
679, 65, 66sylanbrc 413 1 (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697   = wceq 1331  wfal 1336  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  ∃!wreu 2418  ∃*wrmo 2419  cin 3070  wss 3071  c0 3363   class class class wbr 3929  cc 7630  cr 7631   < clt 7812   # cap 8355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-suploc 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356
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