Theorem lteupri 7815

Description: The difference from ltexpri 7811 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lteupri	⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lteupri

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri 7811	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
2		ltrelpr 7703	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3	2	brel 4771	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
4	3	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → 𝐴 ∈ P)
5		eqtr3 2249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦))
6		addcanprg 7814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
7	5, 6	syl5 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
8	7	3expa 1227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) ∧ 𝑦 ∈ P) → (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
9	8	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
10	9	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
11		oveq2 6015	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦))
12	11	eqeq1d 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵))
13	12	rmo4 2996	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
14	10, 13	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
15	4, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
16		reu5 2749	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
17	1, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ∃!wreu 2510  ∃*wrmo 2511   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  Pcnp 7489   +_P cpp 7491  <_P cltp 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-plpq 7542  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-plqqs 7547  df-mqqs 7548  df-1nqqs 7549  df-rq 7550  df-ltnqqs 7551  df-enq0 7622  df-nq0 7623  df-0nq0 7624  df-plq0 7625  df-mq0 7626  df-inp 7664  df-iplp 7666  df-iltp 7668

This theorem is referenced by:  srpospr  7981