Theorem lteupri 7932

Description: The difference from ltexpri 7928 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lteupri	⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lteupri

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri 7928	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
2		ltrelpr 7820	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3	2	brel 4802	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
4	3	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → 𝐴 ∈ P)
5		eqtr3 2252	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦))
6		addcanprg 7931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
7	5, 6	syl5 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
8	7	3expa 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) ∧ 𝑦 ∈ P) → (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
9	8	ralrimiva 2615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
10	9	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
11		oveq2 6058	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦))
12	11	eqeq1d 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵))
13	12	rmo4 3010	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
14	10, 13	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
15	4, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
16		reu5 2762	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
17	1, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  ∃!wreu 2522  ∃*wrmo 2523   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  Pcnp 7606   +_P cpp 7608  <_P cltp 7610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-iplp 7783  df-iltp 7785

This theorem is referenced by:  srpospr  8098