Theorem lteupri 7712

Description: The difference from ltexpri 7708 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lteupri	⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem lteupri

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri 7708	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
2		ltrelpr 7600	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3	2	brel 4725	. . . 4 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
4	3	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → 𝐴 ∈ P)
5		eqtr3 2224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦))
6		addcanprg 7711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
7	5, 6	syl5 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
8	7	3expa 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) ∧ 𝑦 ∈ P) → (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
9	8	ralrimiva 2578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ P) → ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
10	9	ralrimiva 2578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
11		oveq2 5942	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 +P 𝑥) = (𝐴 +P 𝑦))
12	11	eqeq1d 2213	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵))
13	12	rmo4 2965	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ P ∀𝑦 ∈ P (((𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ (𝐴 +P 𝑦) = 𝐵) → 𝑥 = 𝑦))
14	10, 13	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
15	4, 14	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)
16		reu5 2722	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ↔ (∃𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵 ∧ ∃*𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵))
17	1, 15, 16	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴<P 𝐵 → ∃!𝑥 ∈ P (𝐴 +P 𝑥) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ∃wrex 2484  ∃!wreu 2485  ∃*wrmo 2486   class class class wbr 4043  (class class class)co 5934  Pcnp 7386   +_P cpp 7388  <_P cltp 7390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4334  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-1o 6492  df-2o 6493  df-oadd 6496  df-omul 6497  df-er 6610  df-ec 6612  df-qs 6616  df-ni 7399  df-pli 7400  df-mi 7401  df-lti 7402  df-plpq 7439  df-mpq 7440  df-enq 7442  df-nqqs 7443  df-plqqs 7444  df-mqqs 7445  df-1nqqs 7446  df-rq 7447  df-ltnqqs 7448  df-enq0 7519  df-nq0 7520  df-0nq0 7521  df-plq0 7522  df-mq0 7523  df-inp 7561  df-iplp 7563  df-iltp 7565

This theorem is referenced by:  srpospr  7878