ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvdseu GIF version

Theorem pw2dvdseu 11228
Description: A natural number has a unique highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
pw2dvdseu (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvdseu
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2dvds 11226 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
2 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simplrl 502 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4 simplrr 503 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5 simprll 504 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑚) ∥ 𝑁)
6 simprrr 507 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)
72, 3, 4, 5, 6pw2dvdseulemle 11227 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚𝑥)
8 simprrl 506 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑥) ∥ 𝑁)
9 simprlr 505 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)
102, 4, 3, 8, 9pw2dvdseulemle 11227 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥𝑚)
113nn0red 8697 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℝ)
124nn0red 8697 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1311, 12letri3d 7579 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (𝑚 = 𝑥 ↔ (𝑚𝑥𝑥𝑚)))
147, 10, 13mpbir2and 890 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 = 𝑥)
1514ex 113 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) → ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
1615ralrimivva 2455 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
17 oveq2 5642 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → (2↑𝑚) = (2↑𝑥))
1817breq1d 3847 . . . . 5 (𝑚 = 𝑥 → ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ↔ (2↑𝑥) ∥ 𝑁))
19 oveq1 5641 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
2019oveq2d 5650 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (2↑(𝑚 + 1)) = (2↑(𝑥 + 1)))
2120breq1d 3847 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
2221notbid 627 . . . . 5 (𝑚 = 𝑥 → (¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
2318, 22anbi12d 457 . . . 4 (𝑚 = 𝑥 → (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)))
2423rmo4 2806 . . 3 (∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
2516, 24sylibr 132 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
26 reu5 2579 . 2 (∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)))
271, 25, 26sylanbrc 408 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  ∃!wreu 2361  ∃*wrmo 2362   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  1c1 7330   + caddc 7332  cle 7502  cn 8394  2c2 8444  0cn0 8643  cexp 9919  cdvds 10878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fz 9394  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-dvds 10879
This theorem is referenced by:  oddpwdclemxy  11229  oddpwdclemdvds  11230  oddpwdclemndvds  11231  oddpwdclemodd  11232  oddpwdclemdc  11233  oddpwdc  11234
  Copyright terms: Public domain W3C validator