Theorem pw2dvdseu 12540

Description: A natural number has a unique highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseu	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvdseu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 12538	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
2		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simprll 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑚) ∥ 𝑁)
6		simprrr 540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)
7	2, 3, 4, 5, 6	pw2dvdseulemle 12539	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ≤ 𝑥)
8		simprrl 539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑥) ∥ 𝑁)
9		simprlr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)
10	2, 4, 3, 8, 9	pw2dvdseulemle 12539	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ≤ 𝑚)
11	3	nn0red 9362	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℝ)
12	4	nn0red 9362	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	11, 12	letri3d 8201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (𝑚 = 𝑥 ↔ (𝑚 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚)))
14	7, 10, 13	mpbir2and 947	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 = 𝑥)
15	14	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) → ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
16	15	ralrimivva 2589	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
17		oveq2 5962	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (2↑𝑚) = (2↑𝑥))
18	17	breq1d 4058	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ↔ (2↑𝑥) ∥ 𝑁))
19		oveq1 5961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
20	19	oveq2d 5970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (2↑(𝑚 + 1)) = (2↑(𝑥 + 1)))
21	20	breq1d 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
22	21	notbid 669	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
23	18, 22	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)))
24	23	rmo4 2968	. . 3 ⊢ (∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
25	16, 24	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
26		reu5 2724	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)))
27	1, 25, 26	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  ∃!wreu 2487  ∃*wrmo 2488   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  1c1 7939   + caddc 7941   ≤ cle 8121  ℕcn 9049  2c2 9100  ℕ₀cn0 9308  ↑cexp 10696   ∥ cdvds 12148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-dvds 12149

This theorem is referenced by:  oddpwdclemxy  12541  oddpwdclemdvds  12542  oddpwdclemndvds  12543  oddpwdclemodd  12544  oddpwdclemdc  12545  oddpwdc  12546