Theorem pw2dvdseu 12676

Description: A natural number has a unique highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseu	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvdseu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 12674	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
2		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simprll 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑚) ∥ 𝑁)
6		simprrr 540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)
7	2, 3, 4, 5, 6	pw2dvdseulemle 12675	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ≤ 𝑥)
8		simprrl 539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑥) ∥ 𝑁)
9		simprlr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)
10	2, 4, 3, 8, 9	pw2dvdseulemle 12675	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ≤ 𝑚)
11	3	nn0red 9411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℝ)
12	4	nn0red 9411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	11, 12	letri3d 8250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (𝑚 = 𝑥 ↔ (𝑚 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚)))
14	7, 10, 13	mpbir2and 950	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 = 𝑥)
15	14	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) → ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
16	15	ralrimivva 2612	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
17		oveq2 6002	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (2↑𝑚) = (2↑𝑥))
18	17	breq1d 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ↔ (2↑𝑥) ∥ 𝑁))
19		oveq1 6001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
20	19	oveq2d 6010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (2↑(𝑚 + 1)) = (2↑(𝑥 + 1)))
21	20	breq1d 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
22	21	notbid 671	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
23	18, 22	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)))
24	23	rmo4 2996	. . 3 ⊢ (∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
25	16, 24	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
26		reu5 2749	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)))
27	1, 25, 26	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ∃!wreu 2510  ∃*wrmo 2511   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994  1c1 7988   + caddc 7990   ≤ cle 8170  ℕcn 9098  2c2 9149  ℕ₀cn0 9357  ↑cexp 10747   ∥ cdvds 12284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-dvds 12285

This theorem is referenced by:  oddpwdclemxy  12677  oddpwdclemdvds  12678  oddpwdclemndvds  12679  oddpwdclemodd  12680  oddpwdclemdc  12681  oddpwdc  12682