Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvdseu GIF version

Theorem pw2dvdseu 11835
 Description: A natural number has a unique highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
pw2dvdseu (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvdseu
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pw2dvds 11833 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
2 simpll 518 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simplrl 524 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4 simplrr 525 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5 simprll 526 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑚) ∥ 𝑁)
6 simprrr 529 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)
72, 3, 4, 5, 6pw2dvdseulemle 11834 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚𝑥)
8 simprrl 528 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑥) ∥ 𝑁)
9 simprlr 527 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)
102, 4, 3, 8, 9pw2dvdseulemle 11834 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥𝑚)
113nn0red 9024 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℝ)
124nn0red 9024 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1311, 12letri3d 7872 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (𝑚 = 𝑥 ↔ (𝑚𝑥𝑥𝑚)))
147, 10, 13mpbir2and 928 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 = 𝑥)
1514ex 114 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0)) → ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
1615ralrimivva 2512 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
17 oveq2 5775 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → (2↑𝑚) = (2↑𝑥))
1817breq1d 3934 . . . . 5 (𝑚 = 𝑥 → ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ↔ (2↑𝑥) ∥ 𝑁))
19 oveq1 5774 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
2019oveq2d 5783 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑥 → (2↑(𝑚 + 1)) = (2↑(𝑥 + 1)))
2120breq1d 3934 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → ((2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
2221notbid 656 . . . . 5 (𝑚 = 𝑥 → (¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
2318, 22anbi12d 464 . . . 4 (𝑚 = 𝑥 → (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)))
2423rmo4 2872 . . 3 (∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
2516, 24sylibr 133 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
26 reu5 2641 . 2 (∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)))
271, 25, 26sylanbrc 413 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415  ∃!wreu 2416  ∃*wrmo 2417   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  1c1 7614   + caddc 7616   ≤ cle 7794  ℕcn 8713  2c2 8764  ℕ0cn0 8970  ↑cexp 10285   ∥ cdvds 11482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-dvds 11483 This theorem is referenced by:  oddpwdclemxy  11836  oddpwdclemdvds  11837  oddpwdclemndvds  11838  oddpwdclemodd  11839  oddpwdclemdc  11840  oddpwdc  11841
 Copyright terms: Public domain W3C validator