Theorem pw2dvdseu 12890

Description: A natural number has a unique highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvdseu	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvdseu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2dvds 12888	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
2		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simplrl 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
4		simplrr 538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simprll 539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑚) ∥ 𝑁)
6		simprrr 542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)
7	2, 3, 4, 5, 6	pw2dvdseulemle 12889	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ≤ 𝑥)
8		simprrl 541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (2↑𝑥) ∥ 𝑁)
9		simprlr 540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)
10	2, 4, 3, 8, 9	pw2dvdseulemle 12889	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ≤ 𝑚)
11	3	nn0red 9571	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℝ)
12	4	nn0red 9571	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	11, 12	letri3d 8405	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (𝑚 = 𝑥 ↔ (𝑚 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑚)))
14	7, 10, 13	mpbir2and 953	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 = 𝑥)
15	14	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) → ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
16	15	ralrimivva 2626	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
17		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (2↑𝑚) = (2↑𝑥))
18	17	breq1d 4124	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ↔ (2↑𝑥) ∥ 𝑁))
19		oveq1 6065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
20	19	oveq2d 6074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (2↑(𝑚 + 1)) = (2↑(𝑥 + 1)))
21	20	breq1d 4124	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
22	21	notbid 673	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
23	18, 22	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)))
24	23	rmo4 3013	. . 3 ⊢ (∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((2↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
25	16, 24	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
26		reu5 2764	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)))
27	1, 25, 26	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  ∃!wreu 2524  ∃*wrmo 2525   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  1c1 8144   + caddc 8146   ≤ cle 8325  ℕcn 9254  2c2 9305  ℕ₀cn0 9513  ↑cexp 10924   ∥ cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  oddpwdclemxy  12891  oddpwdclemdvds  12892  oddpwdclemndvds  12893  oddpwdclemodd  12894  oddpwdclemdc  12895  oddpwdc  12896