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Theorem dedekindicclemicc 12768
 Description: Lemma for dedekindicc 12769. Same as dedekindicc 12769, except that we merely show 𝑥 to be an element of (𝐴[,]𝐵). Later we will strengthen that to (𝐴(,)𝐵). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
dedekindicc.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
dedekindicc.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
dedekindicc.ab (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dedekindicc.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 dedekindicc.lss . . 3 (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 dedekindicc.uss . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5 dedekindicc.lm . . 3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
6 dedekindicc.um . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
7 dedekindicc.lr . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
8 dedekindicc.ur . . 3 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
9 dedekindicc.disj . . 3 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
10 dedekindicc.loc . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
11 dedekindicc.ab . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 12766 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
131ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
142ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
153ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
164ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
175ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
186ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
197ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
208ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
219ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿𝑈) = ∅)
2210ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
2311ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 < 𝐵)
24 simprll 526 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2524ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 simprr 521 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
2726ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
28 simprlr 527 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2928ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30 simpllr 523 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
31 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 12767 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
331ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
342ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
353ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
364ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
375ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
386ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
397ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
408ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
419ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿𝑈) = ∅)
4210ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
4311ad4antr 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 < 𝐵)
4428ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45 simpllr 523 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
4624ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4726ad3antrrr 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
48 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 12767 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
50 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
51 iccssre 9731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
521, 2, 51syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5352ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5424ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5553, 54sseldd 3093 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
5628ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5753, 56sseldd 3093 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
58 reaplt 8343 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
5955, 57, 58syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
6050, 59mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
6132, 49, 60mpjaodan 787 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
6261inegd 1350 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
6352ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6424adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6563, 64sseldd 3093 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6665recnd 7787 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6728adantr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6863, 67sseldd 3093 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6968recnd 7787 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70 apti 8377 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
7166, 69, 70syl2anc 408 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
7262, 71mpbird 166 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦)
73 ancom 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥))
7473anbi2i 452 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
75 anass 398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
7674, 75bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥))
7776anbi2i 452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
78 anass 398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
7977, 78bitr4i 186 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥))
8079anbi1i 453 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
81 anass 398 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
8280, 81bitri 183 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
83 anass 398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)))
8483bicomi 131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
8584anbi1i 453 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
86 anass 398 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
8785, 86bitri 183 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
8882, 87bitri 183 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
89 anass 398 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
90 ancom 264 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
9190anbi1i 453 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
9289, 91bitr3i 185 . . . . . . . . 9 ((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
9392anbi2i 452 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
9488, 93bitri 183 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
9594imbi1i 237 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦))
9672, 95mpbi 144 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
9796ex 114 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
9897ralrimivva 2512 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
99 breq2 3928 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥𝑞 < 𝑦))
10099ralbidv 2435 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦))
101 breq1 3927 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟𝑦 < 𝑟))
102101ralbidv 2435 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
103100, 102anbi12d 464 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
104103rmo4 2872 . . 3 (∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
10598, 104sylibr 133 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
106 reu5 2641 . 2 (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)))
10712, 105, 106sylanbrc 413 1 (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ⊥wfal 1336   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415  ∃!wreu 2416  ∃*wrmo 2417   ∩ cin 3065   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612   < clt 7793   # cap 8336  [,]cicc 9667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733  ax-pre-suploc 7734 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-icc 9671  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764 This theorem is referenced by:  dedekindicc  12769
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