Theorem dedekindicclemicc 12779

Description: Lemma for dedekindicc 12780. Same as dedekindicc 12780, except that we merely show 𝑥 to be an element of (𝐴[,]𝐵). Later we will strengthen that to (𝐴(,)𝐵). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemicc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicclemicc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemlu 12777	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
13	1	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	2	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	3	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
16	4	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	5	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
18	6	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
19	7	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
20	8	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
21	9	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
22	10	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
23	11	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 < 𝐵)
24		simprll 526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	24	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		simprr 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
27	26	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
28		simprlr 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	28	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30		simpllr 523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
31		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
32	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31	dedekindicclemeu 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
33	1	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	2	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	3	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
36	4	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
37	5	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
38	6	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
39	7	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
40	8	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
41	9	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
42	10	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
43	11	ad4antr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 < 𝐵)
44	28	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45		simpllr 523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
46	24	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
47	26	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
48		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
49	33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48	dedekindicclemeu 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
50		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
51		iccssre 9738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
52	1, 2, 51	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
53	52	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
54	24	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
55	53, 54	sseldd 3098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	28	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
57	53, 56	sseldd 3098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
58		reaplt 8350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
59	55, 57, 58	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
60	50, 59	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
61	32, 49, 60	mpjaodan 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
62	61	inegd 1350	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
63	52	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
64	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
65	63, 64	sseldd 3098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
66	65	recnd 7794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
67	28	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	63, 67	sseldd 3098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℝ)
69	68	recnd 7794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70		apti 8384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
71	66, 69, 70	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
72	62, 71	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦)
73		ancom 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥))
74	73	anbi2i 452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
75		anass 398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
76	74, 75	bitr4i 186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥))
77	76	anbi2i 452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
78		anass 398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
79	77, 78	bitr4i 186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥))
80	79	anbi1i 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
81		anass 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
82	80, 81	bitri 183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
83		anass 398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
84	83	bicomi 131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
85	84	anbi1i 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
86		anass 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
87	85, 86	bitri 183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
88	82, 87	bitri 183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
89		anass 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
90		ancom 264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
91	90	anbi1i 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
92	89, 91	bitr3i 185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
93	92	anbi2i 452	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
94	88, 93	bitri 183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
95	94	imbi1i 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦))
96	72, 95	mpbi 144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
97	96	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
98	97	ralrimivva 2514	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
99		breq2 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑦))
100	99	ralbidv 2437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦))
101		breq1 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑦 < 𝑟))
102	101	ralbidv 2437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
103	100, 102	anbi12d 464	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
104	103	rmo4 2877	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
105	98, 104	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
106		reu5 2643	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
107	12, 105, 106	sylanbrc 413	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ⊥wfal 1336   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  ∃!wreu 2418  ∃*wrmo 2419   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619   < clt 7800   # cap 8343  [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-icc 9678  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  dedekindicc  12780