Theorem dedekindicclemicc 15733

Description: Lemma for dedekindicc 15734. Same as dedekindicc 15734, except that we merely show 𝑥 to be an element of (𝐴[,]𝐵). Later we will strengthen that to (𝐴(,)𝐵). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dedekindicc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss	⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
dedekindicc.um	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
dedekindicc.lr	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj	⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
dedekindicc.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dedekindicclemicc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicclemicc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dedekindicc.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		dedekindicc.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		dedekindicc.lss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		dedekindicc.uss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5		dedekindicc.lm	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
6		dedekindicc.um	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
7		dedekindicc.lr	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
8		dedekindicc.ur	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
9		dedekindicc.disj	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
10		dedekindicc.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
11		dedekindicc.ab	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	dedekindicclemlu 15731	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
13	1	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	2	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	3	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
16	4	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17	5	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
18	6	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
19	7	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
20	8	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
21	9	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
22	10	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
23	11	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 < 𝐵)
24		simprll 543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	24	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		simprr 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
27	26	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
28		simprlr 544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29	28	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30		simpllr 540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
32	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31	dedekindicclemeu 15732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
33	1	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	2	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	3	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
36	4	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
37	5	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
38	6	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑈)
39	7	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
40	8	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑈 𝑞 < 𝑟))
41	9	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿 ∩ 𝑈) = ∅)
42	10	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
43	11	ad4antr 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 < 𝐵)
44	28	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45		simpllr 540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
46	24	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
47	26	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
49	33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48	dedekindicclemeu 15732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
50		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
51		iccssre 10357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
52	1, 2, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
53	52	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
54	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
55	53, 54	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
56	28	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
57	53, 56	sseldd 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
58		reaplt 8916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
59	55, 57, 58	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
60	50, 59	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
61	32, 49, 60	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
62	61	inegd 1421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
63	52	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
64	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
65	63, 64	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
66	65	recnd 8354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
67	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
68	63, 67	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℝ)
69	68	recnd 8354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70		apti 8950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
71	66, 69, 70	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
72	62, 71	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦)
73		ancom 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥))
74	73	anbi2i 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
75		anass 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
76	74, 75	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥))
77	76	anbi2i 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
78		anass 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥)))
79	77, 78	bitr4i 187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥))
80	79	anbi1i 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
81		anass 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
82	80, 81	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
83		anass 405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
84	83	bicomi 132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
85	84	anbi1i 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
86		anass 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
87	85, 86	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
88	82, 87	bitri 184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
89		anass 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
90		ancom 266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
91	90	anbi1i 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
92	89, 91	bitr3i 186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
93	92	anbi2i 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
94	88, 93	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))))
95	94	imbi1i 238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦))
96	72, 95	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
97	96	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
98	97	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
99		breq2 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥 ↔ 𝑞 < 𝑦))
100	99	ralbidv 2550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦))
101		breq1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟 ↔ 𝑦 < 𝑟))
102	101	ralbidv 2550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟))
103	100, 102	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)))
104	103	rmo4 3019	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
105	98, 104	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))
106		reu5 2770	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟)))
107	12, 105, 106	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑈 𝑥 < 𝑟))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∃!wreu 2530  ∃*wrmo 2531   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178   < clt 8360   # cap 8909  [,]cicc 10293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-icc 10297  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  dedekindicc  15734