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Theorem dedekindicclemicc 13777
Description: Lemma for dedekindicc 13778. Same as dedekindicc 13778, except that we merely show 𝑥 to be an element of (𝐴[,]𝐵). Later we will strengthen that to (𝐴(,)𝐵). (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dedekindicc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dedekindicc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dedekindicc.lss (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.uss (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
dedekindicc.lm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
dedekindicc.um (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
dedekindicc.lr (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.ur (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
dedekindicc.disj (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
dedekindicc.loc (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
dedekindicc.ab (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
dedekindicclemicc (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑥   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥   𝑈,𝑞,𝑟,𝑥   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥

Proof of Theorem dedekindicclemicc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dedekindicc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dedekindicc.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 dedekindicc.lss . . 3 (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 dedekindicc.uss . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5 dedekindicc.lm . . 3 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
6 dedekindicc.um . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
7 dedekindicc.lr . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
8 dedekindicc.ur . . 3 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
9 dedekindicc.disj . . 3 (𝜑 → (𝐿𝑈) = ∅)
10 dedekindicc.loc . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
11 dedekindicc.ab . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11dedekindicclemlu 13775 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
131ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
142ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
153ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
164ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
175ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
186ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
197ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
208ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
219ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐿𝑈) = ∅)
2210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
2311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐴 < 𝐵)
24 simprll 537 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2524ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
2726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
28 simprlr 538 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2928ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
31 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
3213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31dedekindicclemeu 13776 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ⊥)
331ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
342ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
353ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
364ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
375ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
386ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑈)
397ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
408ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞𝑈 𝑞 < 𝑟))
419ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (𝐿𝑈) = ∅)
4210ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
4311ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝐴 < 𝐵)
4428ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
45 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
4624ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
48 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑦 < 𝑥)
4933, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dedekindicclemeu 13776 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑥) → ⊥)
50 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
51 iccssre 9942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
521, 2, 51syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5352ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5424ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5553, 54sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
5628ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5753, 56sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
58 reaplt 8535 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
5955, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥)))
6050, 59mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑥))
6132, 49, 60mpjaodan 798 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ⊥)
6261inegd 1372 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
6352ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6424adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6563, 64sseldd 3156 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6665recnd 7976 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6728adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6863, 67sseldd 3156 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6968recnd 7976 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℂ)
70 apti 8569 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
7166, 69, 70syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
7262, 71mpbird 167 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦)
73 ancom 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥))
7473anbi2i 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
75 anass 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
7674, 75bitr4i 187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥))
7776anbi2i 457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
78 anass 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ (((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥)))
7977, 78bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥))
8079anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
81 anass 401 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
8280, 81bitri 184 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
83 anass 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)))
8483bicomi 132 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
8584anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
86 anass 401 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
8785, 86bitri 184 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
8882, 87bitri 184 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))))
89 anass 401 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
90 ancom 266 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ↔ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
9190anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
9289, 91bitr3i 186 . . . . . . . . 9 ((∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) ↔ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
9392anbi2i 457 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
9488, 93bitri 184 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))))
9594imbi1i 238 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦))
9672, 95mpbi 145 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))) → 𝑥 = 𝑦)
9796ex 115 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
9897ralrimivva 2559 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
99 breq2 4004 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑞 < 𝑥𝑞 < 𝑦))
10099ralbidv 2477 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ↔ ∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦))
101 breq1 4003 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑟𝑦 < 𝑟))
102101ralbidv 2477 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟 ↔ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟))
103100, 102anbi12d 473 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)))
104103rmo4 2930 . . 3 (∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ (∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑦 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑦 < 𝑟)) → 𝑥 = 𝑦))
10598, 104sylibr 134 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
106 reu5 2689 . 2 (∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟) ∧ ∃*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟)))
10712, 105, 106sylanbrc 417 1 (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑥 ∧ ∀𝑟𝑈 𝑥 < 𝑟))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wfal 1358  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  ∃!wreu 2457  ∃*wrmo 2458  cin 3128  wss 3129  c0 3422   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801   < clt 7982   # cap 8528  [,]cicc 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  dedekindicc  13778
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