Theorem rexlimdvaa 2669

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90 (restricted quantifier version). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimdvaa.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
rexlimdvaa	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rexlimdvaa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimdvaa.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) → 𝜒)
2	1	expr 375	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
3	2	rexlimdva 2668	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533  df-rex 2534

This theorem is used by:  rexlimddv  2673  nnsucuniel  6772  omp1eomlem  7441  ctmlemr  7455  mulgt0sr  8152  axpre-suploclemres  8275  cnegex  8512  receuap  9008  recapb  9010  rexanuz  11777  fiidxsupcl  12019  climcaucn  12143  fsumiun  12270  dvdsval2  12583  nninfctlemfo  12843  prmind2  12924  nn0sqdcq  13014  sqrtrirr  13015  pcprmpw2  13142  pockthg  13166  dvdsrvald  14510  dvdsrd  14511  dvdsrex  14515  unitgrp  14533  isnzr2  14601  znunit  15104  tgcl  15302  neiint  15383  restopnb  15419  iscnp4  15456  blssexps  15667  blssex  15668  lgsne0  16374  lgsquadlem1  16413