Theorem rexlimdvaa 2669

Description: Inference from Theorem 19.23 of [Margaris] p. 90 (restricted quantifier version). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexlimdvaa.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
rexlimdvaa	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem rexlimdvaa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexlimdvaa.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜓)) → 𝜒)
2	1	expr 375	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝜓 → 𝜒))
3	2	rexlimdva 2668	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 → 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-ral 2533  df-rex 2534

This theorem is used by:  rexlimddv  2673  nnsucuniel  6768  omp1eomlem  7435  ctmlemr  7449  mulgt0sr  8146  axpre-suploclemres  8269  cnegex  8506  receuap  9002  recapb  9004  rexanuz  11769  fiidxsupcl  12011  climcaucn  12135  fsumiun  12262  dvdsval2  12575  nninfctlemfo  12835  prmind2  12916  nn0sqdcq  13006  sqrtrirr  13007  pcprmpw2  13134  pockthg  13158  dvdsrvald  14451  dvdsrd  14452  dvdsrex  14456  unitgrp  14474  isnzr2  14542  znunit  15045  tgcl  15217  neiint  15298  restopnb  15334  iscnp4  15371  blssexps  15582  blssex  15583  lgsne0  16279  lgsquadlem1  16318