Theorem lgsne0 15711

Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to 1 or -1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsne0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem lgsne0

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsqcl 10827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3		1z 9468	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zdceq 9518	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
6		iffalse 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID (𝐴↑2) = 1 → (¬ (𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0))
8	7	necon1aidc 2451	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (𝐴↑2) = 1 → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ≠ 0 → (𝐴↑2) = 1))
9	5, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ≠ 0 → (𝐴↑2) = 1))
10		iftrue 3607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
11		1ne0 9174	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) = 1 → 1 ≠ 0)
13	10, 12	eqnetrd 2424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ≠ 0)
14	9, 13	impbid1 142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ≠ 0 ↔ (𝐴↑2) = 1))
15	14	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ≠ 0 ↔ (𝐴↑2) = 1))
16		zre 9446	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		absresq 11584	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
20		sq1 10850	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
21	20	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (1↑2) = 1)
22	19, 21	eqeq12d 2244	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2) ↔ (𝐴↑2) = 1))
23	17	recnd 8171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23	abscld 11687	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
25	23	absge0d 11690	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
26		1re 8141	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		0le1 8624	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
28		sq11 10829	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘𝐴) = 1))
29	26, 27, 28	mpanr12 439	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘𝐴) = 1))
30	24, 25, 29	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘𝐴) = 1))
31	15, 22, 30	3bitr2d 216	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ≠ 0 ↔ (abs‘𝐴) = 1))
32		oveq2 6008	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
33		lgs0 15686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
34	33	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
35	32, 34	sylan9eqr 2284	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
36	35	neeq1d 2418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) ≠ 0))
37		oveq2 6008	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴 gcd 𝑁) = (𝐴 gcd 0))
38		gcdid0 12496	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
40	37, 39	sylan9eqr 2284	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 gcd 𝑁) = (abs‘𝐴))
41	40	eqeq1d 2238	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 ↔ (abs‘𝐴) = 1))
42	31, 36, 41	3bitr4d 220	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
43		lgscl 15687	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
44	43	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
45		0z 9453	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
46		zapne 9517	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑁) # 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) ≠ 0))
47	44, 45, 46	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /L 𝑁) # 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) ≠ 0))
48		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
49	48	lgsval4 15693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
50	49	breq1d 4092	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /L 𝑁) # 0 ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) # 0))
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
52	51	iftrued 3609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = -1)
53		neg1ne0 9213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ≠ 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → -1 ≠ 0)
55	52, 54	eqnetrd 2424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0)
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
57	56	iffalsed 3612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
58	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → 1 ≠ 0)
59	57, 58	eqnetrd 2424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0)
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		zdclt 9520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
62	60, 45, 61	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
64		zdclt 9520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
65	63, 45, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
66		dcan2 940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
67	62, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
68		exmiddc 841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) → ((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ∨ ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ∨ ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
70	55, 59, 69	mpjaodan 803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0)
71	70	biantrurd 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0 ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0 ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0)))
72	71	3adant3 1041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0 ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0 ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0)))
73		neg1z 9474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℤ
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℤ)
75		1zzd 9469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
76	74, 75, 67	ifcldcd 3640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
77	76	3adant3 1041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
78	77	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
79		nnuz 9754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
80		1zzd 9469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
81	48	lgsfcl3 15694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
82	81	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
83		zmulcl 9496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℤ)
84	83	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℤ)
85	79, 80, 82, 84	seqf 10681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶ℤ)
86		nnabscl 11606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
87	86	3adant1 1039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
88	85, 87	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
89	88	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
90	78, 89	mulap0bd 8800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) # 0 ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0) ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) # 0))
91		zapne 9517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) # 0 ↔ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0))
92	77, 45, 91	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) # 0 ↔ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0))
93		zapne 9517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0 ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0))
94	88, 45, 93	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0 ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0))
95	92, 94	anbi12d 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) # 0 ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0) ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0 ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0)))
96	77, 88	zmulcld 9571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) ∈ ℤ)
97		zapne 9517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) # 0 ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) ≠ 0))
98	96, 45, 97	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) # 0 ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) ≠ 0))
99	90, 95, 98	3bitr3d 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ≠ 0 ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0) ↔ (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) ≠ 0))
100	72, 99	bitr2d 189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) ≠ 0 ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0))
101	100, 98, 94	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) # 0 ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0))
102		gcd2n0cl 12485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
103	102	nnzd 9564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
104		zdceq 9518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
105	103, 3, 104	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
106		eluz2b3 9795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ≠ 1))
107		exprmfct 12655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))
108	106, 107	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ≠ 1) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))
109		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
111	81	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
112		elnnuz 9755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
113	112	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
115	111, 114	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
116	115	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
117		mul02 8529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 · 𝑘) = 0)
118	117	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
119		mul01 8531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 0) = 0)
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
121		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))
122		prmz 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
123	122	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∈ ℤ)
124		simpl1 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
125		simpl2 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
126		dvdsgcdb 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁)))
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁)))
128	121, 127	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝑁))
129	128	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∥ 𝑁)
130		dvdsabsb 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 ∥ (abs‘𝑁)))
131	123, 125, 130	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑝 ∥ (abs‘𝑁)))
132	129, 131	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∥ (abs‘𝑁))
133	87	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
134		dvdsle 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (abs‘𝑁) → 𝑝 ≤ (abs‘𝑁)))
135	123, 133, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 ∥ (abs‘𝑁) → 𝑝 ≤ (abs‘𝑁)))
136	132, 135	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ≤ (abs‘𝑁))
137		prmnn 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
138	137	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∈ ℕ)
139	138, 79	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1))
140	133	nnzd 9564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
141		elfz5 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ (1...(abs‘𝑁)) ↔ 𝑝 ≤ (abs‘𝑁)))
142	139, 140, 141	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 ∈ (1...(abs‘𝑁)) ↔ 𝑝 ≤ (abs‘𝑁)))
143	136, 142	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∈ (1...(abs‘𝑁)))
144		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑝 ∈ ℙ))
145		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑝))
146		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑝 pCnt 𝑁))
147	145, 146	oveq12d 6018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)))
148	144, 147	ifbieq1d 3625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑝 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1))
149		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∈ ℙ)
150	149	iftrued 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → if(𝑝 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)))
151		lgscl 15687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑝) ∈ ℤ)
152	124, 123, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝐴 /L 𝑝) ∈ ℤ)
153		simpl3 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑁 ≠ 0)
154		pczcl 12816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
155	149, 125, 153, 154	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
156		zexpcl 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 /L 𝑝) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
157	152, 155, 156	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
158	150, 157	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → if(𝑝 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
159	48, 148, 138, 158	fvmptd3 5727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑝) = if(𝑝 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)), 1))
160		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝐴 /L 𝑝) = (𝐴 /L 2))
161		lgs2 15690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 2) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
162	124, 161	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝐴 /L 2) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
163	160, 162	sylan9eqr 2284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) → (𝐴 /L 𝑝) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
164		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) → 𝑝 = 2)
165	128	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑝 ∥ 𝐴)
166	165	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) → 𝑝 ∥ 𝐴)
167	164, 166	eqbrtrrd 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) → 2 ∥ 𝐴)
168	167	iftrued 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = 0)
169	163, 168	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 = 2) → (𝐴 /L 𝑝) = 0)
170		simpll1 1060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
171	149	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∈ ℙ)
172		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ≠ 2)
173		eldifsn 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ≠ 2))
174	171, 172, 173	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}))
175		lgsval3 15691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑝) = ((((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) − 1))
176	170, 174, 175	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑝) = ((((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) − 1))
177		oddprm 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑝 − 1) / 2) ∈ ℕ)
178	174, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → ((𝑝 − 1) / 2) ∈ ℕ)
179	178	nnnn0d 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → ((𝑝 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
180		zexpcl 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑝 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
181	170, 179, 180	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
182		zq 9817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) ∈ ℚ)
184		zq 9817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
185	45, 184	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 0 ∈ ℚ)
186		1nn 9117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℕ
187		nnq 9824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
188	186, 187	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 1 ∈ ℚ)
189	171, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∈ ℕ)
190		nnq 9824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
191	189, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∈ ℚ)
192		nngt0 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 0 < 𝑝)
193	189, 192	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 0 < 𝑝)
194		0zd 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 0 ∈ ℤ)
195	165	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∥ 𝐴)
196		dvdsval3 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑝) = 0))
197	189, 170, 196	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑝) = 0))
198	195, 197	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝐴 mod 𝑝) = 0)
199		q0mod 10572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑝) → (0 mod 𝑝) = 0)
200	190, 192, 199	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (0 mod 𝑝) = 0)
201	189, 200	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (0 mod 𝑝) = 0)
202	198, 201	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝐴 mod 𝑝) = (0 mod 𝑝))
203	170, 194, 179, 191, 193, 202	modqexp 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) mod 𝑝) = ((0↑((𝑝 − 1) / 2)) mod 𝑝))
204	178	0expd 10906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (0↑((𝑝 − 1) / 2)) = 0)
205	204	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → ((0↑((𝑝 − 1) / 2)) mod 𝑝) = (0 mod 𝑝))
206	203, 205	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) mod 𝑝) = (0 mod 𝑝))
207	183, 185, 188, 191, 193, 206	modqadd1 10578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) = ((0 + 1) mod 𝑝))
208		0p1e1 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 + 1) = 1
209	208	oveq1i 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑝) = (1 mod 𝑝)
210	207, 209	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) = (1 mod 𝑝))
211		prmuz2 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
212	171, 211	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
213		eluzelz 9727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑝 ∈ ℤ)
214		zq 9817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℚ)
215	213, 214	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑝 ∈ ℚ)
216		eluz2gt1 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑝)
217		q1mod 10573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑝) → (1 mod 𝑝) = 1)
218	215, 216, 217	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 mod 𝑝) = 1)
219	212, 218	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (1 mod 𝑝) = 1)
220	210, 219	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) = 1)
221	220	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → ((((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) − 1) = (1 − 1))
222		1m1e0 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 − 1) = 0
223	221, 222	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → ((((𝐴↑((𝑝 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑝) − 1) = 0)
224	176, 223	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) ∧ 𝑝 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑝) = 0)
225		2z 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℤ
226		zdceq 9518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 = 2)
227	123, 225, 226	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → DECID 𝑝 = 2)
228		dcne 2411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (DECID 𝑝 = 2 ↔ (𝑝 = 2 ∨ 𝑝 ≠ 2))
229	227, 228	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 = 2 ∨ 𝑝 ≠ 2))
230	169, 224, 229	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝐴 /L 𝑝) = 0)
231	230	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)) = (0↑(𝑝 pCnt 𝑁)))
232		zq 9817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
233	125, 232	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℚ)
234		pcabs 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑝 pCnt (abs‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
235	149, 233, 234	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 pCnt (abs‘𝑁)) = (𝑝 pCnt 𝑁))
236		pcelnn 12839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (abs‘𝑁)) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (abs‘𝑁)))
237	149, 133, 236	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → ((𝑝 pCnt (abs‘𝑁)) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ (abs‘𝑁)))
238	132, 237	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 pCnt (abs‘𝑁)) ∈ ℕ)
239	235, 238	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (𝑝 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
240	239	0expd 10906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (0↑(𝑝 pCnt 𝑁)) = 0)
241	231, 240	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → ((𝐴 /L 𝑝)↑(𝑝 pCnt 𝑁)) = 0)
242	159, 150, 241	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑝) = 0)
243	110, 116, 118, 120, 143, 242	seq3z 10745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁))) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = 0)
244	243	rexlimdvaa 2649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝐴 gcd 𝑁) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = 0))
245	108, 244	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ≠ 1) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = 0))
246	102, 245	mpand 429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝑁) ≠ 1 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = 0))
247	246	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (DECID (𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) ≠ 1 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = 0)))
248	247	necon1ddc 2478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (DECID (𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)))
249	105, 248	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ≠ 0 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
250	94, 249	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0 → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
251		1zzd 9469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 1 ∈ ℤ)
252		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
253		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
254		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
255	253, 254	oveq12d 6018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
256	252, 255	ifbieq1d 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
257		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
258		simp1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
259	258	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
260		prmz 12628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
261	260	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
262		lgscl 15687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
263	259, 261, 262	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
264		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
265		simp2 1022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
266	265	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
267		simp3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
268	267	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
269		pczcl 12816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
270	264, 266, 268, 269	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
271		zexpcl 10771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
272	263, 270, 271	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
273		1zzd 9469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
274		prmdc 12647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
275	274	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
276	272, 273, 275	ifcldadc 3632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
277	48, 256, 257, 276	fvmptd3 5727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
278		simpll1 1060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
279	260	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
280	278, 279, 262	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
281	280	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
282	281	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
283		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴 /L 𝑘) = (𝐴 /L 2))
284	278	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
285	284, 161	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 2) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
286	283, 285	sylan9eqr 2284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴 /L 𝑘) = if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)))
287		nprmdvds1 12657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → ¬ 𝑘 ∥ 1)
288	287	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ∥ 1)
289		simpll2 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
290		dvdsgcdb 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ↔ 𝑘 ∥ (𝐴 gcd 𝑁)))
291	279, 278, 289, 290	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ↔ 𝑘 ∥ (𝐴 gcd 𝑁)))
292		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
293	292	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ (𝐴 gcd 𝑁) ↔ 𝑘 ∥ 1))
294	291, 293	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ↔ 𝑘 ∥ 1))
295	288, 294	mtbird 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ (𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁))
296		imnan 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑘 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∥ 𝑁) ↔ ¬ (𝑘 ∥ 𝐴 ∧ 𝑘 ∥ 𝑁))
297	295, 296	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∥ 𝑁))
298	297	con2d 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑘 ∥ 𝐴))
299	298	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → ¬ 𝑘 ∥ 𝐴)
300		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 ∥ 𝐴 ↔ 2 ∥ 𝐴))
301	300	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 2 → (¬ 𝑘 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
302	299, 301	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝑘 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝐴))
303	302	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝐴)
304	303	iffalsed 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
305	286, 304	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴 /L 𝑘) = if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1))
306		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
307	306	iftrued 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = 1)
308	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → 1 ≠ 0)
309	307, 308	eqnetrd 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ≠ 0)
310		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
311	310	iffalsed 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) = -1)
312	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → -1 ≠ 0)
313	311, 312	eqnetrd 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ≠ 0)
314		8nn 9274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 8 ∈ ℕ
315		zmodcl 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
316	314, 315	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
317	316	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℤ)
318		zdceq 9518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
319	317, 3, 318	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 1)
320		7nn 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 7 ∈ ℕ
321	320	nnzi 9463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 7 ∈ ℤ
322		zdceq 9518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴 mod 8) ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
323	317, 321, 322	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) = 7)
324		dcor 941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) = 1 → (DECID (𝐴 mod 8) = 7 → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
325	319, 323, 324	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
326		elprg 3686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
327	316, 326	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
328	327	dcbid 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ DECID ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
329	325, 328	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7})
330		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (DECID (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
331	329, 330	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ∨ ¬ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}))
332	309, 313, 331	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ≠ 0)
333	258, 332	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ≠ 0)
334	333	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 = 2) → if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ≠ 0)
335	305, 334	eqnetrd 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 = 2) → (𝐴 /L 𝑘) ≠ 0)
336		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
337	336	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑘 ∈ ℙ)
338	337, 287	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ¬ 𝑘 ∥ 1)
339		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑘 ∥ 𝑁)
340	337, 260	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑘 ∈ ℤ)
341	284	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
342		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑘 ≠ 2)
343		eldifsn 3794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ≠ 2))
344	337, 342, 343	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑘 ∈ (ℙ ∖ {2}))
345		oddprm 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ)
346	344, 345	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ)
347	346	nnnn0d 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
348		zexpcl 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
349	341, 347, 348	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
350	289	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑁 ∈ ℤ)
351		dvdsgcd 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → 𝑘 ∥ ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd 𝑁)))
352	340, 349, 350, 351	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → 𝑘 ∥ ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd 𝑁)))
353	339, 352	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) → 𝑘 ∥ ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd 𝑁)))
354	341	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℂ)
355	354, 347	absexpd 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (abs‘(𝐴↑((𝑘 − 1) / 2))) = ((abs‘𝐴)↑((𝑘 − 1) / 2)))
356	355	oveq1d 6015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((abs‘(𝐴↑((𝑘 − 1) / 2))) gcd (abs‘𝑁)) = (((abs‘𝐴)↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd (abs‘𝑁)))
357		gcdabs 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴↑((𝑘 − 1) / 2))) gcd (abs‘𝑁)) = ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd 𝑁))
358	349, 350, 357	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((abs‘(𝐴↑((𝑘 − 1) / 2))) gcd (abs‘𝑁)) = ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd 𝑁))
359		gcdabs 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝑁)) = (𝐴 gcd 𝑁))
360	341, 350, 359	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝑁)) = (𝐴 gcd 𝑁))
361	292	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
362	360, 361	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝑁)) = 1)
363	299	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ¬ 𝑘 ∥ 𝐴)
364		dvds0 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∥ 0)
365	340, 364	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑘 ∥ 0)
366		breq2 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝑘 ∥ 𝐴 ↔ 𝑘 ∥ 0))
367	365, 366	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝐴 = 0 → 𝑘 ∥ 𝐴))
368	367	necon3bd 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (¬ 𝑘 ∥ 𝐴 → 𝐴 ≠ 0))
369	363, 368	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝐴 ≠ 0)
370		nnabscl 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
371	341, 369, 370	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ)
372		simpll3 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
373	289, 372, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
374	373	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
375		rplpwr 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑘 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝑁)) = 1 → (((abs‘𝐴)↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd (abs‘𝑁)) = 1))
376	371, 374, 346, 375	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (((abs‘𝐴) gcd (abs‘𝑁)) = 1 → (((abs‘𝐴)↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd (abs‘𝑁)) = 1))
377	362, 376	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (((abs‘𝐴)↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd (abs‘𝑁)) = 1)
378	356, 358, 377	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd 𝑁) = 1)
379	378	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝑘 ∥ ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) gcd 𝑁) ↔ 𝑘 ∥ 1))
380	353, 379	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) → 𝑘 ∥ 1))
381	338, 380	mtod 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ¬ 𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)))
382		prmnn 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℕ)
383	382	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℕ)
384	383	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → 𝑘 ∈ ℕ)
385		dvdsval3 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ∈ ℤ) → (𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ↔ ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) mod 𝑘) = 0))
386	384, 349, 385	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ↔ ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) mod 𝑘) = 0))
387	386	necon3bbid 2440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (¬ 𝑘 ∥ (𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) ↔ ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) mod 𝑘) ≠ 0))
388	381, 387	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) mod 𝑘) ≠ 0)
389		lgsvalmod 15692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑘) mod 𝑘) = ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) mod 𝑘))
390	341, 344, 389	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑘) mod 𝑘) = ((𝐴↑((𝑘 − 1) / 2)) mod 𝑘))
391		nnq 9824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℚ)
392		nngt0 9131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
393		q0mod 10572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑘) → (0 mod 𝑘) = 0)
394	391, 392, 393	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0 mod 𝑘) = 0)
395	384, 394	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (0 mod 𝑘) = 0)
396	388, 390, 395	3netr4d 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑘) mod 𝑘) ≠ (0 mod 𝑘))
397		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 /L 𝑘) = 0 → ((𝐴 /L 𝑘) mod 𝑘) = (0 mod 𝑘))
398	397	necon3i 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 /L 𝑘) mod 𝑘) ≠ (0 mod 𝑘) → (𝐴 /L 𝑘) ≠ 0)
399	396, 398	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑘) ≠ 0)
400	279	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
401		zdceq 9518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 = 2)
402	400, 225, 401	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → DECID 𝑘 = 2)
403		dcne 2411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (DECID 𝑘 = 2 ↔ (𝑘 = 2 ∨ 𝑘 ≠ 2))
404	402, 403	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝑘 = 2 ∨ 𝑘 ≠ 2))
405	335, 399, 404	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑘) ≠ 0)
406	280	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
407		zapne 9517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑘) # 0 ↔ (𝐴 /L 𝑘) ≠ 0))
408	406, 45, 407	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /L 𝑘) # 0 ↔ (𝐴 /L 𝑘) ≠ 0))
409	405, 408	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑘) # 0)
410	336, 289, 372, 269	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
411	410	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
412	411	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℤ)
413		expclzaplem 10780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐴 /L 𝑘) # 0 ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
414	282, 409, 412, 413	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
415		dvdsabsb 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∥ 𝑁 ↔ 𝑘 ∥ (abs‘𝑁)))
416	279, 289, 415	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ 𝑁 ↔ 𝑘 ∥ (abs‘𝑁)))
417	416	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (¬ 𝑘 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑁)))
418		pceq0 12840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑁)))
419	336, 373, 418	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑁)))
420	289, 232	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℚ)
421		pcabs 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑁)) = (𝑘 pCnt 𝑁))
422	336, 420, 421	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑁)) = (𝑘 pCnt 𝑁))
423	422	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑁)) = 0 ↔ (𝑘 pCnt 𝑁) = 0))
424	417, 419, 423	3bitr2rd 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁))
425	424	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝑘 pCnt 𝑁) = 0)
426	425	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑0))
427	281	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
428	427	exp0d 10884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /L 𝑘)↑0) = 1)
429	426, 428	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = 1)
430		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
431		1ap0 8733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 # 0
432		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 # 0 ↔ 1 # 0))
433	432	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0))
434	430, 431, 433	mpbir2an 948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}
435	429, 434	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
436		dvdsdc 12304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∥ 𝑁)
437	383, 289, 436	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → DECID 𝑘 ∥ 𝑁)
438		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (DECID 𝑘 ∥ 𝑁 → (𝑘 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁))
439	437, 438	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ 𝑁 ∨ ¬ 𝑘 ∥ 𝑁))
440	414, 435, 439	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
441	440	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
442	434	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
443	441, 442, 275	ifcldadc 3632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
444	277, 443	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
445		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑘 # 0))
446	445	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0))
447		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 # 0 ↔ 𝑦 # 0))
448	447	elrab 2959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
449		mulcl 8122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑦) ∈ ℂ)
450	449	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑘 · 𝑦) ∈ ℂ)
451		mulap0 8797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑘 · 𝑦) # 0)
452	450, 451	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → ((𝑘 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑦) # 0))
453	446, 448, 452	syl2anb 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → ((𝑘 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑦) # 0))
454		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑘 · 𝑦) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑘 · 𝑦) # 0))
455	454	elrab 2959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ ((𝑘 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑦) # 0))
456	453, 455	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0}) → (𝑘 · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
457	456	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})) → (𝑘 · 𝑦) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
458	79, 251, 444, 457	seqf 10681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶{𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
459	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
460	458, 459	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0})
461		breq1 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) → (𝑥 # 0 ↔ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0))
462	461	elrab 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} ↔ ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ ∧ (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0))
463	462	simprbi 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ 𝑥 # 0} → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0)
464	460, 463	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0)
465	464	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0))
466	250, 465	impbid 129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) # 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
467	50, 101, 466	3bitrd 214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /L 𝑁) # 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
468	467	3expa 1227	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /L 𝑁) # 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
469	47, 468	bitr3d 190	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
470		zdceq 9518	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
471	60, 45, 470	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
472		dcne 2411	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
473	471, 472	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
474	42, 469, 473	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509  {crab 2512   ∖ cdif 3194  ifcif 3602  {csn 3666  {cpr 3667   class class class wbr 4082   ↦ cmpt 4144  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000   < clt 8177   ≤ cle 8178   − cmin 8313  -cneg 8314   # cap 8724   / cdiv 8815  ℕcn 9106  2c2 9157  7c7 9162  8c8 9163  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ℚcq 9810  ...cfz 10200   mod cmo 10539  seqcseq 10664  ↑cexp 10755  abscabs 11503   ∥ cdvds 12293   gcd cgcd 12469  ℙcprime 12624   pCnt cpc 12802   /_L clgs 15670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-proddc 12057  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625  df-phi 12728  df-pc 12803  df-lgs 15671

This theorem is referenced by:  lgsabs1  15712  lgsprme0  15715  lgsdirnn0  15720  lgsquad3  15757  2lgsoddprm  15786