Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cnre 7952 |
. 2
โข (๐ด โ โ โ
โ๐ โ โ
โ๐ โ โ
๐ด = (๐ + (i ยท ๐))) |
2 | | cnegexlem2 8132 |
. . . . 5
โข
โ๐ฆ โ
โ (i ยท ๐ฆ)
โ โ |
3 | | cnegexlem3 8133 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โ
โ๐ โ โ
(๐ + ๐) = ๐ฆ) |
4 | 3 | ad2ant2lr 510 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ฆ โ โ โง (i
ยท ๐ฆ) โ
โ)) โ โ๐
โ โ (๐ + ๐) = ๐ฆ) |
5 | | ax-icn 7905 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข i โ
โ |
6 | | recn 7943 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
7 | | mulcl 7937 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((i
โ โ โง ๐
โ โ) โ (i ยท ๐) โ โ) |
8 | 5, 6, 7 | sylancr 414 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ โ (i
ยท ๐) โ
โ) |
9 | | recn 7943 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
10 | | addcl 7935 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((i
ยท ๐) โ โ
โง ๐ โ โ)
โ ((i ยท ๐) +
๐) โ
โ) |
11 | 8, 9, 10 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((i
ยท ๐) + ๐) โ
โ) |
12 | 11 | adantlr 477 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ) โง ๐ โ โ) โ ((i ยท ๐) + ๐) โ โ) |
13 | 12 | adantll 476 |
. . . . . . . . . 10
โข
(((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (๐ฆ โ
โ โง (i ยท ๐ฆ) โ โ)) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โ ((i ยท ๐) + ๐) โ โ) |
14 | 13 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (๐ฆ โ
โ โง (i ยท ๐ฆ) โ โ)) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โง ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = 0) โ ((i ยท ๐) + ๐) โ โ) |
15 | | recn 7943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
16 | | recn 7943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
17 | 15, 16 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โ โ โง ๐ โ
โ)) |
18 | 17, 6 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ
โ)) |
19 | | mulcl 7937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((i
โ โ โง ๐
โ โ) โ (i ยท ๐) โ โ) |
20 | 5, 19 | mpan 424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ โ โ (i
ยท ๐) โ
โ) |
21 | | addcl 7935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ โ โ โง (i
ยท ๐) โ โ)
โ (๐ + (i ยท
๐)) โ
โ) |
22 | 20, 21 | sylan2 286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ + (i ยท ๐)) โ
โ) |
23 | 22 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (๐ + (i ยท ๐)) โ
โ) |
24 | 5, 7 | mpan 424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ โ โ (i
ยท ๐) โ
โ) |
25 | 24 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (i
ยท ๐) โ
โ) |
26 | | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โ) |
27 | 23, 25, 26 | addassd 7979 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (((๐ + (i ยท ๐)) + (i ยท ๐)) + ๐) = ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐))) |
28 | | simpll 527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ
โ) |
29 | 20 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (i
ยท ๐) โ
โ) |
30 | 24 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (i
ยท ๐) โ
โ) |
31 | 28, 29, 30 | addassd 7979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + (i ยท ๐)) = (๐ + ((i ยท ๐) + (i ยท ๐)))) |
32 | | adddi 7942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((i
โ โ โง ๐
โ โ โง ๐
โ โ) โ (i ยท (๐ + ๐)) = ((i ยท ๐) + (i ยท ๐))) |
33 | 5, 32 | mp3an1 1324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (i
ยท (๐ + ๐)) = ((i ยท ๐) + (i ยท ๐))) |
34 | 33 | adantll 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (i
ยท (๐ + ๐)) = ((i ยท ๐) + (i ยท ๐))) |
35 | 34 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (๐ + (i ยท (๐ + ๐))) = (๐ + ((i ยท ๐) + (i ยท ๐)))) |
36 | 31, 35 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + (i ยท ๐)) = (๐ + (i ยท (๐ + ๐)))) |
37 | 36 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + (i ยท ๐)) = (๐ + (i ยท (๐ + ๐)))) |
38 | 37 | oveq1d 5889 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ (((๐ + (i ยท ๐)) + (i ยท ๐)) + ๐) = ((๐ + (i ยท (๐ + ๐))) + ๐)) |
39 | 27, 38 | eqtr3d 2212 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐)) = ((๐ + (i ยท (๐ + ๐))) + ๐)) |
40 | 18, 9, 39 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐)) = ((๐ + (i ยท (๐ + ๐))) + ๐)) |
41 | 40 | adantlrr 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐)) = ((๐ + (i ยท (๐ + ๐))) + ๐)) |
42 | | oveq2 5882 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ + ๐) = ๐ฆ โ (i ยท (๐ + ๐)) = (i ยท ๐ฆ)) |
43 | 42 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ + ๐) = ๐ฆ โ (๐ + (i ยท (๐ + ๐))) = (๐ + (i ยท ๐ฆ))) |
44 | 43 | oveq1d 5889 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ + ๐) = ๐ฆ โ ((๐ + (i ยท (๐ + ๐))) + ๐) = ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐)) |
45 | 44 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ) โ ((๐ + (i ยท (๐ + ๐))) + ๐) = ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐)) |
46 | 45 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท (๐ + ๐))) + ๐) = ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐)) |
47 | 41, 46 | eqtr2d 2211 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐))) |
48 | 47 | adantllr 481 |
. . . . . . . . . . 11
โข
(((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (๐ฆ โ
โ โง (i ยท ๐ฆ) โ โ)) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โ ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐))) |
49 | 48 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . 10
โข
(((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (๐ฆ โ
โ โง (i ยท ๐ฆ) โ โ)) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โ (((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = 0 โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐)) = 0)) |
50 | 49 | biimpa 296 |
. . . . . . . . 9
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (๐ฆ โ
โ โง (i ยท ๐ฆ) โ โ)) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โง ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = 0) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐)) = 0) |
51 | | oveq2 5882 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = ((i ยท ๐) + ๐) โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐))) |
52 | 51 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = ((i ยท ๐) + ๐) โ (((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0 โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐)) = 0)) |
53 | 52 | rspcev 2841 |
. . . . . . . . 9
โข ((((i
ยท ๐) + ๐) โ โ โง ((๐ + (i ยท ๐)) + ((i ยท ๐) + ๐)) = 0) โ โ๐ฅ โ โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0) |
54 | 14, 50, 53 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
โข
((((((๐ โ
โ โง ๐ โ
โ) โง (๐ฆ โ
โ โง (i ยท ๐ฆ) โ โ)) โง (๐ โ โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โง ๐ โ โ) โง ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = 0) โ โ๐ฅ โ โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0) |
55 | | readdcl 7936 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ โง (i
ยท ๐ฆ) โ โ)
โ (๐ + (i ยท
๐ฆ)) โ
โ) |
56 | | ax-rnegex 7919 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) โ โ โ
โ๐ โ โ
((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = 0) |
57 | 55, 56 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ โง (i
ยท ๐ฆ) โ โ)
โ โ๐ โ
โ ((๐ + (i ยท
๐ฆ)) + ๐) = 0) |
58 | 57 | ad2ant2rl 511 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ฆ โ โ โง (i
ยท ๐ฆ) โ
โ)) โ โ๐
โ โ ((๐ + (i
ยท ๐ฆ)) + ๐) = 0) |
59 | 58 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ฆ โ โ โง (i
ยท ๐ฆ) โ
โ)) โง (๐ โ
โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โ โ๐ โ โ ((๐ + (i ยท ๐ฆ)) + ๐) = 0) |
60 | 54, 59 | r19.29a 2620 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ฆ โ โ โง (i
ยท ๐ฆ) โ
โ)) โง (๐ โ
โ โง (๐ + ๐) = ๐ฆ)) โ โ๐ฅ โ โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0) |
61 | 4, 60 | rexlimddv 2599 |
. . . . . 6
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ฆ โ โ โง (i
ยท ๐ฆ) โ
โ)) โ โ๐ฅ
โ โ ((๐ + (i
ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0) |
62 | 61 | rexlimdvaa 2595 |
. . . . 5
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ
(โ๐ฆ โ โ (i
ยท ๐ฆ) โ โ
โ โ๐ฅ โ
โ ((๐ + (i ยท
๐)) + ๐ฅ) = 0)) |
63 | 2, 62 | mpi 15 |
. . . 4
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ
โ๐ฅ โ โ
((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0) |
64 | | oveq1 5881 |
. . . . . 6
โข (๐ด = (๐ + (i ยท ๐)) โ (๐ด + ๐ฅ) = ((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ)) |
65 | 64 | eqeq1d 2186 |
. . . . 5
โข (๐ด = (๐ + (i ยท ๐)) โ ((๐ด + ๐ฅ) = 0 โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0)) |
66 | 65 | rexbidv 2478 |
. . . 4
โข (๐ด = (๐ + (i ยท ๐)) โ (โ๐ฅ โ โ (๐ด + ๐ฅ) = 0 โ โ๐ฅ โ โ ((๐ + (i ยท ๐)) + ๐ฅ) = 0)) |
67 | 63, 66 | syl5ibrcom 157 |
. . 3
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด = (๐ + (i ยท ๐)) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด + ๐ฅ) = 0)) |
68 | 67 | rexlimivv 2600 |
. 2
โข
(โ๐ โ
โ โ๐ โ
โ ๐ด = (๐ + (i ยท ๐)) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด + ๐ฅ) = 0) |
69 | 1, 68 | syl 14 |
1
โข (๐ด โ โ โ
โ๐ฅ โ โ
(๐ด + ๐ฅ) = 0) |