Theorem cnegex 8204

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 8022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		cnegexlem2 8202	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ
3		cnegexlem3 8203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
4	3	ad2ant2lr 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
5		ax-icn 7974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
6		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℂ)
7		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
9		recn 8012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ → 𝑑 ∈ ℂ)
10		addcl 8004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
12	11	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
13	12	adantll 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
15		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
16		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
17	15, 16	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
18	17, 6	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ))
19		mulcl 8006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	5, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
21		addcl 8004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
24	5, 7	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℂ → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
25	24	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → 𝑑 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	addassd 8049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
28		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
30	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	addassd 8049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))))
32		adddi 8011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
33	5, 32	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
34	33	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
35	34	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))))
36	31, 35	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))))
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))))
38	37	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
39	27, 38	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
40	18, 9, 39	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
41	40	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
42		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = 𝑦 → (i · (𝑏 + 𝑐)) = (i · 𝑦))
43	42	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = 𝑦 → (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + (i · 𝑦)))
44	43	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = 𝑦 → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑))
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦) → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑))
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑))
47	41, 46	eqtr2d 2230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
48	47	adantllr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
49	48	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0))
50	49	biimpa 296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0)
51		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑐) + 𝑑) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
52	51	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑐) + 𝑑) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0))
53	52	rspcev 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
54	14, 50, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
55		readdcl 8005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑎 + (i · 𝑦)) ∈ ℝ)
56		ax-rnegex 7988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 + (i · 𝑦)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
58	57	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
59	58	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
60	54, 59	r19.29a 2640	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
61	4, 60	rexlimddv 2619	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
62	61	rexlimdvaa 2615	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
63	2, 62	mpi 15	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
64		oveq1 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥))
65	64	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
66	65	rexbidv 2498	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
67	63, 66	syl5ibrcom 157	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0))
68	67	rexlimivv 2620	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
69	1, 68	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  ici 7881   + caddc 7882   · cmul 7884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925

This theorem is referenced by:  cnegex2  8205  addcan2  8207  0cnALT  8216  negeu  8217