Theorem cnegex 8097

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7916	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		cnegexlem2 8095	. . . . 5 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ
3		cnegexlem3 8096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
4	3	ad2ant2lr 507	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
5		ax-icn 7869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
6		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℂ)
7		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
9		recn 7907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ → 𝑑 ∈ ℂ)
10		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
12	11	adantlr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
13	12	adantll 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
14	13	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
15		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
16		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
17	15, 16	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
18	17, 6	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ))
19		mulcl 7901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	5, 19	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
21		addcl 7899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23	22	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
24	5, 7	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℂ → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
25	24	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
26		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → 𝑑 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	addassd 7942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
28		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	20	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
30	24	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	addassd 7942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))))
32		adddi 7906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
33	5, 32	mp3an1 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
34	33	adantll 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
35	34	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))))
36	31, 35	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))))
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))))
38	37	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
39	27, 38	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
40	18, 9, 39	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
41	40	adantlrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
42		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = 𝑦 → (i · (𝑏 + 𝑐)) = (i · 𝑦))
43	42	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = 𝑦 → (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + (i · 𝑦)))
44	43	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = 𝑦 → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑))
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦) → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑))
46	45	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑))
47	41, 46	eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
48	47	adantllr 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
49	48	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0))
50	49	biimpa 294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0)
51		oveq2 5861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑐) + 𝑑) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
52	51	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((i · 𝑐) + 𝑑) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0))
53	52	rspcev 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
54	14, 50, 53	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
55		readdcl 7900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ) → (𝑎 + (i · 𝑦)) ∈ ℝ)
56		ax-rnegex 7883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 + (i · 𝑦)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
58	57	ad2ant2rl 508	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
59	58	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · 𝑦)) + 𝑑) = 0)
60	54, 59	r19.29a 2613	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
61	4, 60	rexlimddv 2592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℝ)) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
62	61	rexlimdvaa 2588	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (i · 𝑦) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
63	2, 62	mpi 15	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0)
64		oveq1 5860	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (𝐴 + 𝑥) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥))
65	64	eqeq1d 2179	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
66	65	rexbidv 2471	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + 𝑥) = 0))
67	63, 66	syl5ibrcom 156	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0))
68	67	rexlimivv 2593	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
69	1, 68	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856

This theorem is referenced by:  cnegex2  8098  addcan2  8100  0cnALT  8109  negeu  8110