ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumiun GIF version

Theorem fsumiun 10871
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
fsumiun.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumiun (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3044 . 2 𝐴𝐴
2 fsumiun.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 iuneq1 3743 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
5 0iun 3787 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
64, 5syl6eq 2136 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → 𝑥𝑢 𝐵 = ∅)
76sumeq1d 10755 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
8 sumeq1 10744 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
97, 8eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑢 = ∅ → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))
103, 9imbi12d 232 . . . . 5 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1110imbi2d 228 . . . 4 (𝑢 = ∅ → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))))
12 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢𝐴𝑧𝐴))
13 iuneq1 3743 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑧 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥𝑧 𝐵)
1413sumeq1d 10755 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)
15 sumeq1 10744 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)
1614, 15eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑧 → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))
1712, 16imbi12d 232 . . . . 5 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1817imbi2d 228 . . . 4 (𝑢 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))))
19 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑢𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴))
20 iuneq1 3743 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
2120sumeq1d 10755 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)
22 sumeq1 10744 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)
2321, 22eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))
2419, 23imbi12d 232 . . . . 5 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
2524imbi2d 228 . . . 4 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
26 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢𝐴𝐴𝐴))
27 iuneq1 3743 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝐴 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐵)
2827sumeq1d 10755 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
29 sumeq1 10744 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
3028, 29eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))
3126, 30imbi12d 232 . . . . 5 (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
3231imbi2d 228 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))))
33 sum0 10780 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
34 sum0 10780 . . . . . 6 Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3533, 34eqtr4i 2111 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶
36352a1i 27 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))
37 id 19 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
3837unssad 3177 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
3938imim1i 59 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))
40 oveq1 5659 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
41 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝐵
42 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
43 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4441, 42, 43cbviun 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = 𝑧 ∈ {𝑤}𝑧 / 𝑥𝐵
45 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ V
46 csbeq1 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
4745, 46iunxsn 3806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ {𝑤}𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵
4844, 47eqtri 2108 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵
4948ineq2i 3198 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5150ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5238adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
53 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
5453unssbd 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
55 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤𝑧)
56 disjsn 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤𝑧)
5755, 56sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
58 disjiun 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝑧𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1176 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
6049, 59syl5eqr 2134 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
6160adantlrl 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
62 iunxun 3809 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
6348uneq2i 3151 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
6462, 63eqtri 2108 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
6564a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵))
66 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
6745a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤 ∈ V)
6855adantlrl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤𝑧)
69 unsnfi 6629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ V ∧ ¬ 𝑤𝑧) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
7066, 67, 68, 69syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
71 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
7271ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
7372ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
74 ssralv 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin))
7553, 73, 74sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
7675adantlrl 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
77 disjss1 3828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥𝐴 𝐵Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
7853, 51, 77sylc 61 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
7978adantlrl 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
80 iunfidisj 6655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
8170, 76, 79, 80syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
82 iunss1 3741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
8382adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
8483sselda 3025 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
85 eliun 3734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
86 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8786rexlimdvaa 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8887ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8985, 88syl5bi 150 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 ∈ ℂ))
9089imp 122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9184, 90syldan 276 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9261, 65, 81, 91fsumsplit 10801 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
9368, 56sylibr 132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
94 eqidd 2089 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) = (𝑧 ∪ {𝑤}))
95 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
96 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}))
9795, 96sseldd 3026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
9886anassrs 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9971, 98fsumcl 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
10099ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
101100ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
102101r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
10397, 102syldan 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
10493, 94, 70, 103fsumsplit 10801 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶))
105 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧Σ𝑘𝐵 𝐶
106 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐶
10742, 106nfsum 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶
10843sumeq1d 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
109105, 107, 108cbvsumi 10751 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶
11045snss 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐴 ↔ {𝑤} ⊆ 𝐴)
11154, 110sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤𝐴)
112100ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
113 nfcsb1v 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
114113, 106nfsum 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶
115114nfel1 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ
116 csbeq1a 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
117116sumeq1d 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
118117eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ))
119115, 118rspc 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ))
120111, 112, 119sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ)
12146sumeq1d 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
122121sumsn 10805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ V ∧ Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
12345, 120, 122sylancr 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
124109, 123syl5eq 2132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
125124oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
126125adantlrl 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
127104, 126eqtrd 2120 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
12892, 127eqeq12d 2102 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
12940, 128syl5ibr 154 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))
130129ex 113 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
131130a2d 26 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) → (((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
13239, 131syl5 32 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧)) → ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
133132expcom 114 . . . . 5 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧) → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
134133a2d 26 . . . 4 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧) → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
13511, 18, 25, 32, 36, 134findcard2s 6606 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1362, 135mpcom 36 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))
1371, 136mpi 15 1 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  wrex 2360  Vcvv 2619  csb 2933  cun 2997  cin 2998  wss 2999  c0 3286  {csn 3446   ciun 3730  Disj wdisj 3822  (class class class)co 5652  Fincfn 6457  cc 7348  0cc0 7350   + caddc 7353  Σcsu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-disj 3823  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  hashiun  10872
  Copyright terms: Public domain W3C validator