Theorem fsumiun 11440

Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
fsumiun.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumiun	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumiun

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3167	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		fsumiun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		sseq1 3170	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4		iuneq1 3886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
5		0iun 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = ∅ → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∅)
7	6	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
8		sumeq1 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = ∅ → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
9	7, 8	eqeq12d 2185	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = ∅ → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
10	3, 9	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
11	10	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑢 = ∅ → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
12		sseq1 3170	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑧 ⊆ 𝐴))
13		iuneq1 3886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵)
14	13	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶)
15		sumeq1 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
16	14, 15	eqeq12d 2185	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
17	12, 16	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
18	17	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
19		sseq1 3170	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴))
20		iuneq1 3886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
21	20	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)
22		sumeq1 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
23	21, 22	eqeq12d 2185	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
24	19, 23	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
25	24	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
26		sseq1 3170	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (𝑢 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
27		iuneq1 3886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
28	27	sumeq1d 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶)
29		sumeq1 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
30	28, 29	eqeq12d 2185	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
31	26, 30	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
32	31	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑢 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑢 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
33		sum0 11351	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
34		sum0 11351	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = 0
35	33, 34	eqtr4i 2194	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
36	35	2a1i 27	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
37		id 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
38	37	unssad 3304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → 𝑧 ⊆ 𝐴)
39	38	imim1i 60	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
40		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
41		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑧𝐵
42		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
43		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
44	41, 42, 43	cbviun 3910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
45		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑤 ∈ V
46		csbeq1 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
47	45, 46	iunxsn 3949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ {𝑤}⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
48	44, 47	eqtri 2191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
49	48	ineq2i 3325	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
50		fsumiun.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
51	50	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
52	38	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
54	53	unssbd 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
55		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
56		disjsn 3645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
57	55, 56	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
58		disjiun 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
59	51, 52, 54, 57, 58	syl13anc 1235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
60	49, 59	eqtr3id 2217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
61	60	adantlrl 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
62		iunxun 3952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
63	48	uneq2i 3278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ∪ 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
64	62, 63	eqtri 2191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
65	64	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = (∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵 ∪ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
66		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
67	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤 ∈ V)
68	55	adantlrl 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)
69		unsnfi 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ V ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
71		fsumiun.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
72	71	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
73	72	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin)
74		ssralv 3211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin))
75	53, 73, 74	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
76	75	adantlrl 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
77		disjss1 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵))
78	53, 51, 77	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
79	78	adantlrl 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
80		iunfidisj 6923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin ∧ Disj 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
81	70, 76, 79, 80	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
82		iunss1 3884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
83	82	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
84	83	sselda 3147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
85		eliun 3877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵)
86		fsumiun.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
87	86	rexlimdvaa 2588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
88	87	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑘 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
89	85, 88	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
90	89	imp 123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
91	84, 90	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
92	61, 65, 81, 91	fsumsplit 11370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
93	68, 56	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
94		eqidd 2171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) = (𝑧 ∪ {𝑤}))
95		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
96		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤}))
97	95, 96	sseldd 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥 ∈ 𝐴)
98	86	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
99	71, 98	fsumcl 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
100	99	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
101	100	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
102	101	r19.21bi 2558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
103	97, 102	syldan 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
104	93, 94, 70, 103	fsumsplit 11370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
105		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
106		nfcv 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
107	42, 106	nfsum 11320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
108	43	sumeq1d 11329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
109	105, 107, 108	cbvsumi 11325	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶
110	45	snss 3709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↔ {𝑤} ⊆ 𝐴)
111	54, 110	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
112	100	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
113		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
114	113, 106	nfsum 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶
115	114	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ
116		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
117	116	sumeq1d 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
118	117	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
119	115, 118	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ))
120	111, 112, 119	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ)
121	46	sumeq1d 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
122	121	sumsn 11374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ V ∧ Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
123	45, 120, 122	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑧 / 𝑥⦌𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
124	109, 123	eqtrid 2215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)
125	124	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
126	125	adantlrl 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤}Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
127	104, 126	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶))
128	92, 127	eqeq12d 2185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ↔ (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶) = (Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 + Σ𝑘 ∈ ⦋ 𝑤 / 𝑥⦌𝐵𝐶)))
129	40, 128	syl5ibr 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
130	129	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
131	130	a2d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) → (((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
132	39, 131	syl5 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧)) → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
133	132	expcom 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
134	133	a2d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤 ∈ 𝑧) → ((𝜑 → (𝑧 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝑧 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))))
135	11, 18, 25, 32, 36, 134	findcard2s 6868	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)))
136	2, 135	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
137	1, 136	mpi 15	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  Vcvv 2730  ⦋csb 3049   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3583  ∪ ciun 3873  Disj wdisj 3966  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  ℂcc 7772  0cc0 7774   + caddc 7777  Σcsu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  hashiun  11441