ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  receuap GIF version

Theorem receuap 8640
Description: Existential uniqueness of reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
receuap ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem receuap
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexap 8624 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)
213adant1 1016 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)
3 simprl 529 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
4 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53, 4mulcld 7992 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
6 oveq1 5895 . . . . . . . 8 ((๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
76ad2antll 491 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
8 simplr 528 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
98, 3, 4mulassd 7995 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฆ) ยท ๐ด) = (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
104mulid2d 7990 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
117, 9, 103eqtr3d 2228 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ๐ด)
12 oveq2 5896 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)))
1312eqeq1d 2196 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐ด) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ๐ด))
1413rspcev 2853 . . . . . 6 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท (๐‘ฆ ยท ๐ด)) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
155, 11, 14syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
1615rexlimdvaa 2605 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
17163adant3 1018 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
182, 17mpd 13 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
19 eqtr3 2207 . . . . . . 7 (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
20 mulcanap 8636 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2119, 20imbitrid 154 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
22213expa 1204 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2322expcom 116 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
24233adant1 1016 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
2524ralrimivv 2568 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
26 oveq2 5896 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท ๐‘ฆ))
2726eqeq1d 2196 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด))
2827reu4 2943 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ (((๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
2918, 25, 28sylanbrc 417 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465  โˆƒwrex 2466  โˆƒ!wreu 2467   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   ยท cmul 7830   # cap 8552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553
This theorem is referenced by:  divvalap  8645  divmulap  8646  divclap  8649
  Copyright terms: Public domain W3C validator