Theorem receuap 8625

Description: Existential uniqueness of reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
receuap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem receuap

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexap 8609	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
2	1	3adant1 1015	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1)
3		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
4		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulcld 7977	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
6		oveq1 5881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 · 𝑦) = 1 → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
7	6	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
8		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8, 3, 4	mulassd 7980	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ((𝐵 · 𝑦) · 𝐴) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
10	4	mulid2d 7975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtr3d 2218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴)
12		oveq2 5882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)))
13	12	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴))
14	13	rspcev 2841	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑦 · 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
15	5, 11, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
16	15	rexlimdvaa 2595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
17	16	3adant3 1017	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (∃𝑦 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴))
18	2, 17	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)
19		eqtr3 2197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
20		mulcanap 8621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → ((𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
21	19, 20	imbitrid 154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
22	21	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
23	22	expcom 116	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
24	23	3adant1 1015	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
25	24	ralrimivv 2558	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
26		oveq2 5882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑦))
27	26	eqeq1d 2186	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴))
28	27	reu4 2931	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝐵 · 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
29	18, 25, 28	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 · 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ∃!wreu 2457   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  0cc0 7810  1c1 7811   · cmul 7815   # cap 8537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538

This theorem is referenced by:  divvalap  8630  divmulap  8631  divclap  8634