ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pockthg GIF version

Theorem pockthg 12354
Description: The generalized Pocklington's theorem. If ๐‘ โˆ’ 1 = ๐ด ยท ๐ต where ๐ต < ๐ด, then ๐‘ is prime if and only if for every prime factor ๐‘ of ๐ด, there is an ๐‘ฅ such that ๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1) = 1( mod ๐‘) and gcd (๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆ’ 1, ๐‘) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
pockthg.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
pockthg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
pockthg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
pockthg.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
Assertion
Ref Expression
pockthg (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable ๐‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
3 pockthg.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
42, 3nnmulcld 8967 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
5 nnuz 9562 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
64, 5eleqtrdi 2270 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
7 eluzp1p1 9552 . . . . 5 ((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
86, 7syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
9 df-2 8977 . . . . 5 2 = (1 + 1)
109fveq2i 5518 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
118, 10eleqtrrdi 2271 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
121, 11eqeltrd 2254 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
13 eluzelre 9537 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1514adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
162nnred 8931 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1716resqcld 10679 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
1817adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
19 prmnn 12109 . . . . . . . . . 10 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2019ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
2120nnred 8931 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„)
2221resqcld 10679 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘žโ†‘2) โˆˆ โ„)
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ด)
243nnred 8931 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
252nngt0d 8962 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
26 ltmul2 8812 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด)))
2823, 27mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด))
292, 2nnmulcld 8967 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
30 nnltp1le 9312 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„• โˆง (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
314, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท ๐ด) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด)))
3228, 31mpbid 147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) + 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
332nncnd 8932 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3433sqvald 10650 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
3532, 1, 343brtr4d 4035 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
3635adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐ดโ†‘2))
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
3837adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)))
39 prmnn 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4039ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4140nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4241exp1d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) = ๐‘)
43 nnge1 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
4443ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
45 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
462nnzd 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
48 1nn0 9191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โˆˆ โ„•0
4948a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
50 pcdvdsb 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5145, 47, 49, 50syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด))
5244, 51mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) โˆฅ ๐ด)
5342, 52eqbrtrrd 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐ด)
54 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐œ‘)
5554, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
5654, 3syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
5754, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐ต < ๐ด)
5854, 1syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ = ((๐ด ยท ๐ต) + 1))
59 simpl2l 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„™)
60 simpl2r 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)
61 simpl3l 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
62 simpl3r 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)
63 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
64 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1)
65 simprrr 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1))) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
6766rexlimdvaa 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
68673expa 1203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
6953, 68embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
7069expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
71 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
72 prmuz2 12130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
73 uz2m1nn 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ž โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ž โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
7574ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
76 pccl 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7771, 75, 76syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
7877nn0ge0d 9231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
79 breq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)) โ†” 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8078, 79syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8180a1dd 48 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) = 0 โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))))
82 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
832ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
8482, 83pccld 12299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0)
85 elnn0 9177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8684, 85sylib 122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ pCnt ๐ด) = 0))
8770, 81, 86mpjaod 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8887ralimdva 2544 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (((๐‘ฅโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) mod ๐‘) = 1 โˆง (((๐‘ฅโ†‘((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) โˆ’ 1) gcd ๐‘) = 1)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
8938, 88mpd 13 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1)))
9075nnzd 9373 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
91 pc2dvds 12328 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9246, 90, 91syl2an2r 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt ๐ด) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘ž โˆ’ 1))))
9389, 92mpbird 167 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1))
94 dvdsle 11849 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆ’ 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9546, 75, 94syl2an2r 595 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐‘ž โˆ’ 1) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
9693, 95mpd 13 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1))
972nnnn0d 9228 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
9820nnnn0d 9228 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•0)
99 nn0ltlem1 9316 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10097, 98, 99syl2an2r 595 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” ๐ด โ‰ค (๐‘ž โˆ’ 1)))
10196, 100mpbird 167 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด < ๐‘ž)
10216adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10397nn0ge0d 9231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
104103adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
10598nn0ge0d 9231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ž)
106102, 21, 104, 105lt2sqd 10684 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ด < ๐‘ž โ†” (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2)))
107101, 106mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘2) < (๐‘žโ†‘2))
10815, 18, 22, 36, 107lelttrd 8081 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ < (๐‘žโ†‘2))
109 dvdszrcl 11798 . . . . . . . . 9 (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
110109simprd 114 . . . . . . . 8 (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
111110ad2antll 491 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11220nnzd 9373 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
113 zsqcl 10590 . . . . . . . 8 (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘žโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
114112, 113syl 14 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘žโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
115 zltnle 9298 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘žโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ < (๐‘žโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
116111, 114, 115syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ < (๐‘žโ†‘2) โ†” ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
117108, 116mpbid 147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ž โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘)
118117expr 375 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ž โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ (๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
119118con2d 624 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
120119ralrimiva 2550 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
121 isprm5 12141 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ ((๐‘žโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)))
12212, 120, 121sylanbrc 417 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  2c2 8969  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„คโ‰ฅcuz 9527   mod cmo 10321  โ†‘cexp 10518   โˆฅ cdvds 11793   gcd cgcd 11942  โ„™cprime 12106   pCnt cpc 12283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-xnn0 9239  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-proddc 11558  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-prm 12107  df-odz 12209  df-phi 12210  df-pc 12284
This theorem is referenced by:  pockthi  12355
  Copyright terms: Public domain W3C validator