pockthg - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pockthg 12495

Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
pockthg	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑝,𝑁 𝐴,𝑝,𝑥 𝜑,𝑝,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pockthg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	2, 3	nnmulcld 9031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5		nnuz 9628	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		eluzp1p1 9618	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
9		df-2 9041	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
10	9	fveq2i 5557	. . . 4 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
11	8, 10	eleqtrrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
12	1, 11	eqeltrd 2270	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
13		eluzelre 9602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	2	nnred 8995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	resqcld 10770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		prmnn 12248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
21	20	nnred 8995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	21	resqcld 10770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
24	3	nnred 8995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 9026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26		ltmul2 8875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
28	23, 27	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
29	2, 2	nnmulcld 9031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30		nnltp1le 9377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
31	4, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
33	2	nncnd 8996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	33	sqvald 10741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
35	32, 1, 34	3brtr4d 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39		prmnn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
40	39	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
41	40	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
42	41	exp1d 10739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43		nnge1 9005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
44	43	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	2	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		1nn0 9256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ₀)
50		pcdvdsb 12458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
53	42, 52	eqbrtrrd 4053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
54		simpl1 1002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
55	54, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
56	54, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
57	54, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
58	54, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59		simpl2l 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60		simpl2r 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∥ 𝑁)
61		simpl3l 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62		simpl3r 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
67	66	rexlimdvaa 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68	67	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
69	53, 68	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
70	69	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72		prmuz2 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2))
73		uz2m1nn 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76		pccl 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
77	71, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 9296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
80	78, 79	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
81	80	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
83	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
84	82, 83	pccld 12438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
85		elnn0 9242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
86	84, 85	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
87	70, 81, 86	mpjaod 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
88	87	ralimdva 2561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
89	38, 88	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
90	75	nnzd 9438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
91		pc2dvds 12468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
92	46, 90, 91	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
93	89, 92	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
94		dvdsle 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
95	46, 75, 94	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
96	93, 95	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
97	2	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
98	20	nnnn0d 9293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ₀)
99		nn0ltlem1 9381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑞 ∈ ℕ₀) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
100	97, 98, 99	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
101	96, 100	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
102	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103	97	nn0ge0d 9296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
104	103	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
105	98	nn0ge0d 9296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 10775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
107	101, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 8144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
109		dvdszrcl 11935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∥ 𝑁 → (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
110	109	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
111	110	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
112	20	nnzd 9438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℤ)
113		zsqcl 10681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
114	112, 113	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
115		zltnle 9363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑞↑2) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
116	111, 114, 115	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
117	108, 116	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
118	117	expr 375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
119	118	con2d 625	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
120	119	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
121		isprm5 12280	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)))
122	12, 120, 121	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2164 ∀wral 2472 ∃wrex 2473 class class class wbr 4029 ‘cfv 5254 (class class class)co 5918 ℝcr 7871 0cc0 7872 1c1 7873 + caddc 7875 · cmul 7877 < clt 8054 ≤ cle 8055 − cmin 8190 / cdiv 8691 ℕcn 8982 2c2 9033 ℕ₀cn0 9240 ℤcz 9317 ℤ_≥cuz 9592 mod cmo 10393 ↑cexp 10609 ∥ cdvds 11930 gcd cgcd 12079 ℙcprime 12245 pCnt cpc 12422

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-irdg 6423 df-frec 6444 df-1o 6469 df-2o 6470 df-oadd 6473 df-er 6587 df-en 6795 df-dom 6796 df-fin 6797 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-xnn0 9304 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-fz 10075 df-fzo 10209 df-fl 10339 df-mod 10394 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-ihash 10847 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-clim 11422 df-proddc 11694 df-dvds 11931 df-gcd 12080 df-prm 12246 df-odz 12348 df-phi 12349 df-pc 12423

This theorem is referenced by: pockthi 12496

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