pockthg - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pockthg 12368

Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
pockthg	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑝,𝑁 𝐴,𝑝,𝑥 𝜑,𝑝,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthg.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2		pockthg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3		pockthg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	2, 3	nnmulcld 8981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5		nnuz 9576	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
6	4, 5	eleqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
7		eluzp1p1 9566	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
9		df-2 8991	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
10	9	fveq2i 5530	. . . 4 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
11	8, 10	eleqtrrdi 2281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
12	1, 11	eqeltrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
13		eluzelre 9551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
16	2	nnred 8945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	resqcld 10693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19		prmnn 12123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
20	19	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
21	20	nnred 8945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	21	resqcld 10693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23		pockthg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
24	3	nnred 8945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 8976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
26		ltmul2 8826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
27	24, 16, 16, 25, 26	syl112anc 1252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
28	23, 27	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
29	2, 2	nnmulcld 8981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30		nnltp1le 9326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
31	4, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
32	28, 31	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
33	2	nncnd 8946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
34	33	sqvald 10664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
35	32, 1, 34	3brtr4d 4047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37		pockthg.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39		prmnn 12123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
40	39	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
41	40	nncnd 8946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
42	41	exp1d 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43		nnge1 8955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
44	43	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
46	2	nnzd 9387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48		1nn0 9205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ₀)
50		pcdvdsb 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
51	45, 47, 49, 50	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
53	42, 52	eqbrtrrd 4039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
54		simpl1 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
55	54, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
56	54, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
57	54, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
58	54, 1	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59		simpl2l 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60		simpl2r 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∥ 𝑁)
61		simpl3l 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62		simpl3r 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
66	55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	pockthlem 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
67	66	rexlimdvaa 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68	67	3expa 1204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
69	53, 68	embantd 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
70	69	expr 375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72		prmuz2 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2))
73		uz2m1nn 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76		pccl 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
77	71, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ₀)
78	77	nn0ge0d 9245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79		breq1 4018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
80	78, 79	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
81	80	a1dd 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
83	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
84	82, 83	pccld 12313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
85		elnn0 9191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
86	84, 85	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
87	70, 81, 86	mpjaod 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
88	87	ralimdva 2554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
89	38, 88	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
90	75	nnzd 9387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
91		pc2dvds 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
92	46, 90, 91	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
93	89, 92	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
94		dvdsle 11863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
95	46, 75, 94	syl2an2r 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
96	93, 95	mpd 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
97	2	nnnn0d 9242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
98	20	nnnn0d 9242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ₀)
99		nn0ltlem1 9330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑞 ∈ ℕ₀) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
100	97, 98, 99	syl2an2r 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
101	96, 100	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
102	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
103	97	nn0ge0d 9245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
104	103	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
105	98	nn0ge0d 9245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
106	102, 21, 104, 105	lt2sqd 10698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
107	101, 106	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
108	15, 18, 22, 36, 107	lelttrd 8095	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
109		dvdszrcl 11812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∥ 𝑁 → (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
110	109	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
111	110	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
112	20	nnzd 9387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → 𝑞 ∈ ℤ)
113		zsqcl 10604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
114	112, 113	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
115		zltnle 9312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑞↑2) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
116	111, 114, 115	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
117	108, 116	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
118	117	expr 375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
119	118	con2d 625	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
120	119	ralrimiva 2560	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁))
121		isprm5 12155	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞 ∥ 𝑁)))
122	12, 120, 121	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 ∧ w3a 979 = wceq 1363 ∈ wcel 2158 ∀wral 2465 ∃wrex 2466 class class class wbr 4015 ‘cfv 5228 (class class class)co 5888 ℝcr 7823 0cc0 7824 1c1 7825 + caddc 7827 · cmul 7829 < clt 8005 ≤ cle 8006 − cmin 8141 / cdiv 8642 ℕcn 8932 2c2 8983 ℕ₀cn0 9189 ℤcz 9266 ℤ_≥cuz 9541 mod cmo 10335 ↑cexp 10532 ∥ cdvds 11807 gcd cgcd 11956 ℙcprime 12120 pCnt cpc 12297

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-irdg 6384 df-frec 6405 df-1o 6430 df-2o 6431 df-oadd 6434 df-er 6548 df-en 6754 df-dom 6755 df-fin 6756 df-sup 6996 df-inf 6997 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-n0 9190 df-xnn0 9253 df-z 9267 df-uz 9542 df-q 9633 df-rp 9667 df-fz 10022 df-fzo 10156 df-fl 10283 df-mod 10336 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-ihash 10769 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 df-clim 11300 df-proddc 11572 df-dvds 11808 df-gcd 11957 df-prm 12121 df-odz 12223 df-phi 12224 df-pc 12298

This theorem is referenced by: pockthi 12369

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