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Theorem pockthg 12338
Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3 (𝜑𝐵 < 𝐴)
pockthg.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
Assertion
Ref Expression
pockthg (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑁   𝐴,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 pockthg.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
42, 3nnmulcld 8957 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5 nnuz 9552 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtrdi 2270 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1))
7 eluzp1p1 9542 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
86, 7syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
9 df-2 8967 . . . . 5 2 = (1 + 1)
109fveq2i 5514 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
118, 10eleqtrrdi 2271 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘2))
121, 11eqeltrd 2254 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
13 eluzelre 9527 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162nnred 8921 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716resqcld 10665 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
1817adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 prmnn 12093 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2019ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
2120nnred 8921 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
2221resqcld 10665 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 < 𝐴)
243nnred 8921 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
252nngt0d 8952 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
26 ltmul2 8802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1242 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
2823, 27mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
292, 2nnmulcld 8957 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30 nnltp1le 9302 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
314, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
3228, 31mpbid 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
332nncnd 8922 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3433sqvald 10636 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3532, 1, 343brtr4d 4032 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≤ (𝐴↑2))
3635adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
3837adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4039ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
4140nncnd 8922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
4241exp1d 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43 nnge1 8931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4443ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
462nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4746ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48 1nn0 9181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℕ0
4948a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
50 pcdvdsb 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
5145, 47, 49, 50syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
5244, 51mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
5342, 52eqbrtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝𝐴)
54 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
5554, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
5654, 3syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
5754, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
5854, 1syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59 simpl2l 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60 simpl2r 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞𝑁)
61 simpl3l 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62 simpl3r 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65 simprrr 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
6766rexlimdvaa 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68673expa 1203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
6953, 68embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
7069expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72 prmuz2 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
73 uz2m1nn 9594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ (ℤ‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
7574ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76 pccl 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ0)
7771, 75, 76syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ0)
7877nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8078, 79syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8180a1dd 48 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
832ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
8482, 83pccld 12283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
85 elnn0 9167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
8684, 85sylib 122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
8770, 81, 86mpjaod 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8887ralimdva 2544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8938, 88mpd 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
9075nnzd 9363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
91 pc2dvds 12312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
9246, 90, 91syl2an2r 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
9389, 92mpbird 167 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
94 dvdsle 11833 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
9546, 75, 94syl2an2r 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
9693, 95mpd 13 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
972nnnn0d 9218 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
9820nnnn0d 9218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
99 nn0ltlem1 9306 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝑞𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
10097, 98, 99syl2an2r 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 < 𝑞𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
10196, 100mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
10216adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10397nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
104103adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
10598nn0ge0d 9221 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
106102, 21, 104, 105lt2sqd 10670 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
107101, 106mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
10815, 18, 22, 36, 107lelttrd 8072 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
109 dvdszrcl 11783 . . . . . . . . 9 (𝑞𝑁 → (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
110109simprd 114 . . . . . . . 8 (𝑞𝑁𝑁 ∈ ℤ)
111110ad2antll 491 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11220nnzd 9363 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℤ)
113 zsqcl 10576 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℤ → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
114112, 113syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
115 zltnle 9288 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑞↑2) ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
116111, 114, 115syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
117108, 116mpbid 147 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
118117expr 375 . . . 4 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
119118con2d 624 . . 3 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁))
120119ralrimiva 2550 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁))
121 isprm5 12125 . 2 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁)))
12212, 120, 121sylanbrc 417 1 (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517   mod cmo 10308  cexp 10505  cdvds 11778   gcd cgcd 11926  cprime 12090   pCnt cpc 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-xnn0 9229  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-odz 12193  df-phi 12194  df-pc 12268
This theorem is referenced by:  pockthi  12339
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