ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgt0sr GIF version

Theorem mulgt0sr 7780
Description: The product of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulgt0sr ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต))

Proof of Theorem mulgt0sr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 7740 . . . . 5 <R โІ (R ร— R)
21brel 4680 . . . 4 (0R <R ๐ด โ†’ (0R โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R))
32simprd 114 . . 3 (0R <R ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ R)
41brel 4680 . . . 4 (0R <R ๐ต โ†’ (0R โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R))
54simprd 114 . . 3 (0R <R ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ R)
63, 5anim12i 338 . 2 ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R))
7 df-nr 7729 . . 3 R = ((P ร— P) / ~R )
8 breq2 4009 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” 0R <R ๐ด))
98anbi1d 465 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” (0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
10 oveq1 5885 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ))
1110breq2d 4017 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” 0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
129, 11imbi12d 234 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )) โ†” ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ))))
13 breq2 4009 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” 0R <R ๐ต))
1413anbi2d 464 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” (0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต)))
15 oveq2 5886 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR ๐ต))
1615breq2d 4017 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” 0R <R (๐ด ยทR ๐ต)))
1714, 16imbi12d 234 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (((0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )) โ†” ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต))))
18 gt0srpr 7750 . . . . 5 (0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ฆ<P ๐‘ฅ)
19 gt0srpr 7750 . . . . 5 (0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ค<P ๐‘ง)
2018, 19anbi12i 460 . . . 4 ((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” (๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค<P ๐‘ง))
21 ltexpri 7615 . . . . . . 7 (๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ P (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)
22 ltexpri 7615 . . . . . . . . 9 (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ P (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)
23 addclpr 7539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) โˆˆ P)
2423adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) โˆˆ P)
25 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)
26 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ P)
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ P)
28 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ P)
2924, 27, 28caovcld 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) โˆˆ P)
3025, 29eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ P)
31 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ P)
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ P)
33 mulclpr 7574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
3430, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
35 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ P)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ P)
37 mulclpr 7574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
3827, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
3924, 34, 38caovcld 6031 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
40 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ P)
41 mulclpr 7574 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
4228, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
43 ltaddpr 7599 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
4439, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
45 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)
46 oveq12 5887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง))
4746oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
4825, 45, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
49 distrprg 7590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
5027, 32, 40, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
51 oveq2 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5251adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5352adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5450, 53eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5554oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
56 distrprg 7590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ ยทP (๐‘” +P โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทP ๐‘”) +P (๐‘“ ยทP โ„Ž)))
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ ยทP (๐‘” +P โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทP ๐‘”) +P (๐‘“ ยทP โ„Ž)))
58 mulcomprg 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ ยทP ๐‘”) = (๐‘” ยทP ๐‘“))
5958adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ ยทP ๐‘”) = (๐‘” ยทP ๐‘“))
6057, 27, 28, 32, 24, 59caovdir2d 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)))
6157, 27, 28, 40, 24, 59caovdir2d 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
6260, 61oveq12d 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
63 distrprg 7590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข)))
6429, 32, 40, 63syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข)))
65 mulclpr 7574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
6627, 32, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
67 mulclpr 7574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
6827, 40, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
69 mulclpr 7574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
7028, 32, 69syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
71 addcomprg 7580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) = (๐‘” +P ๐‘“))
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) = (๐‘” +P ๐‘“))
73 addassprg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P) โ†’ ((๐‘“ +P ๐‘”) +P โ„Ž) = (๐‘“ +P (๐‘” +P โ„Ž)))
7473adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘“ +P ๐‘”) +P โ„Ž) = (๐‘“ +P (๐‘” +P โ„Ž)))
7566, 68, 70, 72, 74, 42, 24caov4d 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
7662, 64, 753eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
7770, 38, 42, 72, 74caov12d 6059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
7855, 76, 773eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
79 oveq1 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8079adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8180ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8260, 81eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8378, 82oveq12d 5896 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)))
8448, 83eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)))
85 mulclpr 7574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
8630, 36, 85syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
87 addassprg 7581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
8886, 66, 70, 87syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
89 addclpr 7539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
9086, 66, 89syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
91 addcomprg 7580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
9290, 70, 91syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
9388, 92eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
9424, 38, 42caovcld 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
95 addassprg 7581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))))
9670, 34, 94, 95syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))))
9770, 94, 34, 72, 74caov32d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
98 addassprg 7581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
9934, 38, 42, 98syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10099oveq2d 5894 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))))
10196, 97, 1003eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10284, 93, 1013eqtr3d 2218 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10324, 39, 42caovcld 6031 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
104 addcanprg 7618 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10570, 90, 103, 104syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
106102, 105mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
10744, 106breqtrrd 4033 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))
108107rexlimdvaa 2595 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ P (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
10922, 108syl5 32 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
110109rexlimdvaa 2595 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ P (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))))
11121, 110syl5 32 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))))
112111impd 254 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค<P ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
113 mulsrpr 7748 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R )
114113breq2d 4017 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” 0R <R [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R ))
115 gt0srpr 7750 . . . . . 6 (0R <R [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R โ†” ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))
116114, 115bitrdi 196 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
117112, 116sylibrd 169 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค<P ๐‘ง) โ†’ 0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
11820, 117biimtrid 152 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
1197, 12, 17, 1182ecoptocl 6626 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต)))
1206, 119mpcom 36 1 ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  [cec 6536  Pcnp 7293   +P cpp 7295   ยทP cmp 7296  <P cltp 7297   ~R cer 7298  Rcnr 7299  0Rc0r 7300   ยทR cmr 7304   <R cltr 7305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-enq0 7426  df-nq0 7427  df-0nq0 7428  df-plq0 7429  df-mq0 7430  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-iplp 7470  df-imp 7471  df-iltp 7472  df-enr 7728  df-nr 7729  df-mr 7731  df-ltr 7732  df-0r 7733
This theorem is referenced by:  axpre-mulgt0  7889
  Copyright terms: Public domain W3C validator