ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgt0sr GIF version

Theorem mulgt0sr 7791
Description: The product of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
mulgt0sr ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต))

Proof of Theorem mulgt0sr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 7751 . . . . 5 <R โІ (R ร— R)
21brel 4690 . . . 4 (0R <R ๐ด โ†’ (0R โˆˆ R โˆง ๐ด โˆˆ R))
32simprd 114 . . 3 (0R <R ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ R)
41brel 4690 . . . 4 (0R <R ๐ต โ†’ (0R โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R))
54simprd 114 . . 3 (0R <R ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ R)
63, 5anim12i 338 . 2 ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R))
7 df-nr 7740 . . 3 R = ((P ร— P) / ~R )
8 breq2 4019 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” 0R <R ๐ด))
98anbi1d 465 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” (0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
10 oveq1 5895 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ))
1110breq2d 4027 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” 0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
129, 11imbi12d 234 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R = ๐ด โ†’ (((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )) โ†” ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ))))
13 breq2 4019 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” 0R <R ๐ต))
1413anbi2d 464 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” (0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต)))
15 oveq2 5896 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = (๐ด ยทR ๐ต))
1615breq2d 4027 . . . 4 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” 0R <R (๐ด ยทR ๐ต)))
1714, 16imbi12d 234 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R = ๐ต โ†’ (((0R <R ๐ด โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )) โ†” ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต))))
18 gt0srpr 7761 . . . . 5 (0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ฆ<P ๐‘ฅ)
19 gt0srpr 7761 . . . . 5 (0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R โ†” ๐‘ค<P ๐‘ง)
2018, 19anbi12i 460 . . . 4 ((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” (๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค<P ๐‘ง))
21 ltexpri 7626 . . . . . . 7 (๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ P (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)
22 ltexpri 7626 . . . . . . . . 9 (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ โˆƒ๐‘ข โˆˆ P (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)
23 addclpr 7550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) โˆˆ P)
2423adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) โˆˆ P)
25 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)
26 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ P)
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ P)
28 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ P)
2924, 27, 28caovcld 6042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) โˆˆ P)
3025, 29eqeltrrd 2265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ P)
31 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ P)
3231adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ P)
33 mulclpr 7585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
3430, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
35 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ P)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ P)
37 mulclpr 7585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
3827, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
3924, 34, 38caovcld 6042 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P)
40 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ข โˆˆ P)
41 mulclpr 7585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
4228, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
43 ltaddpr 7610 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
4439, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
45 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)
46 oveq12 5897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง))
4746oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
4825, 45, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
49 distrprg 7601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
5027, 32, 40, 49syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)))
51 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5251adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5352adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5450, 53eqtr3d 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) = (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))
5554oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
56 distrprg 7601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ ยทP (๐‘” +P โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทP ๐‘”) +P (๐‘“ ยทP โ„Ž)))
5756adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ ยทP (๐‘” +P โ„Ž)) = ((๐‘“ ยทP ๐‘”) +P (๐‘“ ยทP โ„Ž)))
58 mulcomprg 7593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ ยทP ๐‘”) = (๐‘” ยทP ๐‘“))
5958adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ ยทP ๐‘”) = (๐‘” ยทP ๐‘“))
6057, 27, 28, 32, 24, 59caovdir2d 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)))
6157, 27, 28, 40, 24, 59caovdir2d 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
6260, 61oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
63 distrprg 7601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข)))
6429, 32, 40, 63syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ข)))
65 mulclpr 7585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
6627, 32, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
67 mulclpr 7585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ P โˆง ๐‘ข โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
6827, 40, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P)
69 mulclpr 7585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฃ โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
7028, 32, 69syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P)
71 addcomprg 7591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) = (๐‘” +P ๐‘“))
7271adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P)) โ†’ (๐‘“ +P ๐‘”) = (๐‘” +P ๐‘“))
73 addassprg 7592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P) โ†’ ((๐‘“ +P ๐‘”) +P โ„Ž) = (๐‘“ +P (๐‘” +P โ„Ž)))
7473adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โˆง (๐‘“ โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ P โˆง โ„Ž โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘“ +P ๐‘”) +P โ„Ž) = (๐‘“ +P (๐‘” +P โ„Ž)))
7566, 68, 70, 72, 74, 42, 24caov4d 6073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ข) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
7662, 64, 753eqtr4d 2230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = (((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ข)) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
7770, 38, 42, 72, 74caov12d 6070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
7855, 76, 773eqtr4d 2230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
79 oveq1 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8079adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8180ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP ๐‘ค) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8260, 81eqtr3d 2222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค))
8378, 82oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) ยทP (๐‘ค +P ๐‘ข)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)))
8448, 83eqtr3d 2222 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)))
85 mulclpr 7585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ง โˆˆ P) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
8630, 36, 85syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P)
87 addassprg 7592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
8886, 66, 70, 87syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))))
89 addclpr 7550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
9086, 66, 89syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P)
91 addcomprg 7591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
9290, 70, 91syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
9388, 92eqtr3d 2222 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
9424, 38, 42caovcld 6042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
95 addassprg 7592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))))
9670, 34, 94, 95syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))))
9770, 94, 34, 72, 74caov32d 6069 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
98 addassprg 7592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) โˆˆ P โˆง (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
9934, 38, 42, 98syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10099oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))))
10196, 97, 1003eqtr4d 2230 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฆ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) +P (๐‘ฅ ยทP ๐‘ค)) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10284, 93, 1013eqtr3d 2228 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10324, 39, 42caovcld 6042 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P)
104 addcanprg 7629 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) โˆˆ P โˆง ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) โˆˆ P โˆง (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)) โˆˆ P) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
10570, 90, 103, 104syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ (((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))) = ((๐‘ฃ ยทP ๐‘ค) +P (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข))))
106102, 105mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)) = (((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง)) +P (๐‘ฃ ยทP ๐‘ข)))
10744, 106breqtrrd 4043 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ข โˆˆ P โˆง (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))
108107rexlimdvaa 2605 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ข โˆˆ P (๐‘ค +P ๐‘ข) = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
10922, 108syl5 32 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ P โˆง (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
110109rexlimdvaa 2605 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ P (๐‘ฆ +P ๐‘ฃ) = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))))
11121, 110syl5 32 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ค<P ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))))
112111impd 254 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค<P ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
113 mulsrpr 7759 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R )
114113breq2d 4027 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” 0R <R [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R ))
115 gt0srpr 7761 . . . . . 6 (0R <R [โŸจ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)), ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))โŸฉ] ~R โ†” ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค)))
116114, 115bitrdi 196 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ (0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†” ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ค) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ง))<P ((๐‘ฅ ยทP ๐‘ง) +P (๐‘ฆ ยทP ๐‘ค))))
117112, 116sylibrd 169 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((๐‘ฆ<P ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค<P ๐‘ง) โ†’ 0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
11820, 117biimtrid 152 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง (๐‘ง โˆˆ P โˆง ๐‘ค โˆˆ P)) โ†’ ((0R <R [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R โˆง 0R <R [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R ) โ†’ 0R <R ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~R ยทR [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~R )))
1197, 12, 17, 1182ecoptocl 6637 . 2 ((๐ด โˆˆ R โˆง ๐ต โˆˆ R) โ†’ ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต)))
1206, 119mpcom 36 1 ((0R <R ๐ด โˆง 0R <R ๐ต) โ†’ 0R <R (๐ด ยทR ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  [cec 6547  Pcnp 7304   +P cpp 7306   ยทP cmp 7307  <P cltp 7308   ~R cer 7309  Rcnr 7310  0Rc0r 7311   ยทR cmr 7315   <R cltr 7316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-i1p 7480  df-iplp 7481  df-imp 7482  df-iltp 7483  df-enr 7739  df-nr 7740  df-mr 7742  df-ltr 7743  df-0r 7744
This theorem is referenced by:  axpre-mulgt0  7900
  Copyright terms: Public domain W3C validator