ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsval2 GIF version

Theorem dvdsval2 11799
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem dvdsval2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 11798 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
213adant2 1016 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3 zcn 9260 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
433ad2ant3 1020 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
54adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6 zcn 9260 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
76adantl 277 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
8 zcn 9260 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
983ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
109adantr 276 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
11 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
12 0z 9266 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„ค
13 zapne 9329 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ # 0 โ†” ๐‘€ โ‰  0))
1412, 13mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ # 0 โ†” ๐‘€ โ‰  0))
15143ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ # 0 โ†” ๐‘€ โ‰  0))
1615adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ # 0 โ†” ๐‘€ โ‰  0))
1711, 16mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ # 0)
185, 7, 10, 17divmulap3d 8784 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜ โ†” ๐‘ = (๐‘˜ ยท ๐‘€)))
19 eqcom 2179 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘˜ ยท ๐‘€) โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2018, 19bitrdi 196 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜ โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2120biimprd 158 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜))
2221impr 379 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜)
23 simprl 529 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
2422, 23eqeltrd 2254 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2524rexlimdvaa 2595 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
26 simpr 110 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
27 simp2 998 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
2827, 15mpbird 167 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ # 0)
294, 9, 28divcanap1d 8750 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
3029adantr 276 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
31 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€))
3231eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘))
3332rspcev 2843 . . . . 5 (((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
3426, 30, 33syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
3534ex 115 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3625, 35impbid 129 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
372, 36bitrd 188 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813   ยท cmul 7818   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„คcz 9255   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  dvdsval3  11800  nndivdvds  11805  divconjdvds  11857  zeo3  11875  evend2  11896  oddp1d2  11897  fldivndvdslt  11942  divgcdz  11974  dvdsgcdidd  11997  mulgcd  12019  sqgcd  12032  lcmgcdlem  12079  mulgcddvds  12096  qredeu  12099  prmind2  12122  isprm5lem  12143  divgcdodd  12145  divnumden  12198  hashdvds  12223  hashgcdlem  12240  pythagtriplem19  12284  pcprendvds2  12293  pcpremul  12295  pc2dvds  12331  pcz  12333  dvdsprmpweqle  12338  pcadd  12341  pcmptdvds  12345  fldivp1  12348  pockthlem  12356  4sqlem8  12385  4sqlem9  12386  lgseisenlem1  14489  m1lgs  14491  2sqlem3  14503  2sqlem8  14509
  Copyright terms: Public domain W3C validator