Theorem dvdsval2 12374

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem dvdsval2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 12373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2	1	3adant2 1042	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
3		zcn 9489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant3 1046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6		zcn 9489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
8		zcn 9489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11		simpl2 1027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
12		0z 9495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		zapne 9559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
14	12, 13	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
15	14	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
17	11, 16	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
18	5, 7, 10, 17	divmulap3d 9010	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘 ↔ 𝑁 = (𝑘 · 𝑀)))
19		eqcom 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑘 · 𝑀) ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
20	18, 19	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘 ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘))
22	21	impr 379	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘)
23		simprl 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
24	22, 23	eqeltrd 2307	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
25	24	rexlimdvaa 2650	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
27		simp2 1024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
28	27, 15	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
29	4, 9, 28	divcanap1d 8976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
30	29	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
31		oveq1 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑘 · 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
32	31	eqeq1d 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁))
33	32	rspcev 2909	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
34	26, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
35	34	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
36	25, 35	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
37	2, 36	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ∃wrex 2510   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037   · cmul 8042   # cap 8766   / cdiv 8857  ℤcz 9484   ∥ cdvds 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485  df-dvds 12372

This theorem is referenced by:  dvdsval3  12375  nndivdvds  12380  fsumdvds  12426  divconjdvds  12433  3dvds  12448  zeo3  12452  evend2  12473  oddp1d2  12474  fldivndvdslt  12521  bitsmod  12540  divgcdz  12565  dvdsgcdidd  12588  mulgcd  12610  sqgcd  12623  lcmgcdlem  12672  mulgcddvds  12689  qredeu  12692  prmind2  12715  isprm5lem  12736  divgcdodd  12738  divnumden  12791  hashdvds  12816  hashgcdlem  12833  pythagtriplem19  12878  pcprendvds2  12887  pcpremul  12889  pc2dvds  12926  pcz  12928  dvdsprmpweqle  12933  pcadd  12936  pcmptdvds  12941  fldivp1  12944  pockthlem  12952  4sqlem8  12981  4sqlem9  12982  4sqlem12  12998  4sqlem14  13000  znidomb  14696  lgseisenlem1  15828  lgsquad2lem1  15839  lgsquad3  15842  m1lgs  15843  2sqlem3  15875  2sqlem8  15881