Theorem dvdsval2 11974

Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsval2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem dvdsval2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 11973	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2	1	3adant2 1018	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
3		zcn 9350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6		zcn 9350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
8		zcn 9350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
9	8	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11		simpl2 1003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
12		0z 9356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		zapne 9419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
14	12, 13	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
15	14	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
17	11, 16	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
18	5, 7, 10, 17	divmulap3d 8871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘 ↔ 𝑁 = (𝑘 · 𝑀)))
19		eqcom 2198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑘 · 𝑀) ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
20	18, 19	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘 ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘))
22	21	impr 379	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘)
23		simprl 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
24	22, 23	eqeltrd 2273	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
25	24	rexlimdvaa 2615	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
27		simp2 1000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
28	27, 15	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 # 0)
29	4, 9, 28	divcanap1d 8837	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
30	29	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
31		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑘 · 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
32	31	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁))
33	32	rspcev 2868	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
34	26, 30, 33	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
35	34	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
36	25, 35	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
37	2, 36	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  0cc0 7898   · cmul 7903   # cap 8627   / cdiv 8718  ℤcz 9345   ∥ cdvds 11971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-dvds 11972

This theorem is referenced by:  dvdsval3  11975  nndivdvds  11980  fsumdvds  12026  divconjdvds  12033  3dvds  12048  zeo3  12052  evend2  12073  oddp1d2  12074  fldivndvdslt  12121  bitsmod  12140  divgcdz  12165  dvdsgcdidd  12188  mulgcd  12210  sqgcd  12223  lcmgcdlem  12272  mulgcddvds  12289  qredeu  12292  prmind2  12315  isprm5lem  12336  divgcdodd  12338  divnumden  12391  hashdvds  12416  hashgcdlem  12433  pythagtriplem19  12478  pcprendvds2  12487  pcpremul  12489  pc2dvds  12526  pcz  12528  dvdsprmpweqle  12533  pcadd  12536  pcmptdvds  12541  fldivp1  12544  pockthlem  12552  4sqlem8  12581  4sqlem9  12582  4sqlem12  12598  4sqlem14  12600  znidomb  14292  lgseisenlem1  15397  lgsquad2lem1  15408  lgsquad3  15411  m1lgs  15412  2sqlem3  15444  2sqlem8  15450