ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsrex GIF version

Theorem dvdsrex 13265
Description: Existence of the divisibility relation. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
dvdsrex (𝑅 ∈ SRing → (∥r𝑅) ∈ V)

Proof of Theorem dvdsrex
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2178 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2 eqidd 2178 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (∥r𝑅) = (∥r𝑅))
3 id 19 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ SRing)
4 eqidd 2178 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → (.r𝑅) = (.r𝑅))
51, 2, 3, 4dvdsrvald 13260 . 2 (𝑅 ∈ SRing → (∥r𝑅) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)})
6 basfn 12519 . . . . 5 Base Fn V
7 elex 2748 . . . . 5 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ V)
8 funfvex 5532 . . . . . 6 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
98funfni 5316 . . . . 5 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
106, 7, 9sylancr 414 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
11 xpexg 4740 . . . 4 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) ∈ V)
1210, 10, 11syl2anc 411 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) ∈ V)
13 simprr 531 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)) → (𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)
14 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ SRing)
15 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
16 simplr 528 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1917, 18srgcl 13151 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
2014, 15, 16, 19syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)) → (𝑧(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
2113, 20eqeltrrd 2255 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
2221rexlimdvaa 2595 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
2322imdistanda 448 . . . . 5 (𝑅 ∈ SRing → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
2423ssopab2dv 4278 . . . 4 (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))})
25 df-xp 4632 . . . 4 ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))}
2624, 25sseqtrrdi 3204 . . 3 (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)} ⊆ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
2712, 26ssexd 4143 . 2 (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)} ∈ V)
285, 27eqeltrd 2254 1 (𝑅 ∈ SRing → (∥r𝑅) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  Vcvv 2737  {copab 4063   × cxp 4624   Fn wfn 5211  cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12461  .rcmulr 12536  SRingcsrg 13144  rcdsr 13253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-mgp 13129  df-srg 13145  df-dvdsr 13256
This theorem is referenced by:  isunitd  13273
  Copyright terms: Public domain W3C validator