Theorem dvdsrex 13594

Description: Existence of the divisibility relation. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrex	⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)

Proof of Theorem dvdsrex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2194	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2194	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ SRing)
4		eqidd 2194	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	dvdsrvald 13589	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)})
6		basfn 12676	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
7		elex 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ V)
8		funfvex 5571	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8	funfni 5354	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	6, 7, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
11		xpexg 4773	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) ∈ V)
12	10, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) ∈ V)
13		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
14		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ SRing)
15		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
16		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	17, 18	srgcl 13466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
21	13, 20	eqeltrrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22	21	rexlimdvaa 2612	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
23	22	imdistanda 448	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
24	23	ssopab2dv 4309	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))})
25		df-xp 4665	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))}
26	24, 25	sseqtrrdi 3228	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)} ⊆ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
27	12, 26	ssexd 4169	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)} ∈ V)
28	5, 27	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  Vcvv 2760  {copab 4089   × cxp 4657   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  ._rcmulr 12696  SRingcsrg 13459  ∥_rcdsr 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mgp 13417  df-srg 13460  df-dvdsr 13585

This theorem is referenced by:  isunitd  13602