Theorem dvdsrex 13416

Description: Existence of the divisibility relation. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrex	⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)

Proof of Theorem dvdsrex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		eqidd 2190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
3		id 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ SRing)
4		eqidd 2190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅))
5	1, 2, 3, 4	dvdsrvald 13411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)})
6		basfn 12545	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
7		elex 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ V)
8		funfvex 5548	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8	funfni 5332	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	6, 7, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (Base‘𝑅) ∈ V)
11		xpexg 4755	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) ∈ V)
12	10, 10, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) ∈ V)
13		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)
14		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑅 ∈ SRing)
15		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
16		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	17, 18	srgcl 13292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
20	14, 15, 16, 19	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
21	13, 20	eqeltrrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
22	21	rexlimdvaa 2608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)))
23	22	imdistanda 448	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))))
24	23	ssopab2dv 4293	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))})
25		df-xp 4647	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))}
26	24, 25	sseqtrrdi 3219	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)} ⊆ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
27	12, 26	ssexd 4158	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑦)} ∈ V)
28	5, 27	eqeltrd 2266	1 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∃wrex 2469  Vcvv 2752  {copab 4078   × cxp 4639   Fn wfn 5227  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892  Basecbs 12487  ._rcmulr 12563  SRingcsrg 13285  ∥_rcdsr 13404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-ltxr 8017  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-ndx 12490  df-slot 12491  df-base 12493  df-sets 12494  df-plusg 12575  df-mulr 12576  df-0g 12736  df-mgm 12805  df-sgrp 12838  df-mnd 12851  df-mgp 13243  df-srg 13286  df-dvdsr 13407

This theorem is referenced by:  isunitd  13424