Theorem climcaucn 11350

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11346 but adds the part that (𝐹‘𝑘) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		1rp 9651	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2178	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		climdm 11294	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7	6	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 11286	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
10		simpl 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralimi 2540	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	reximi 2574	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 12	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14		eluzelz 9531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14, 1	eleq2s 2272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
16		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
17	16	climcau 11346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
19	16	r19.29uz 10992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
20	19	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
21	20	ralimdv 2545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
22	18, 21	mpan9 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
23	22	an32s 568	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
26	1, 16	cau4 11116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
27	26	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
28	25, 27	sylibrd 169	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
29	28	rexlimdvaa 2595	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
30	29	com23 78	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
31	30	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
32	13, 31	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4001  dom cdm 4624  ‘cfv 5213  (class class class)co 5870  ℂcc 7804  1c1 7807   < clt 7986   − cmin 8122  ℤcz 9247  ℤ_≥cuz 9522  ℝ⁺crp 9647  abscabs 10997   ⇝ cli 11277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-frec 6387  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-rp 9648  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-clim 11278

This theorem is referenced by:  serf0  11351