Theorem climcaucn 10910

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 10906 but adds the part that (𝐹‘𝑘) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		1rp 9237	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2096	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		climdm 10854	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7	6	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
8	7	adantl 272	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 10846	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
10		simpl 108	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralimi 2449	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	reximi 2482	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 12	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14		eluzelz 9127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14, 1	eleq2s 2189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
16		eqid 2095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
17	16	climcau 10906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
18	15, 17	sylan 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
19	16	r19.29uz 10556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
20	19	ex 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
21	20	ralimdv 2454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
22	18, 21	mpan9 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
23	22	an32s 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
24	23	adantll 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
25	24	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
26	1, 16	cau4 10680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
27	26	ad2antrl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
28	25, 27	sylibrd 168	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
29	28	rexlimdvaa 2503	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
30	29	com23 78	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
31	30	imp 123	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
32	13, 31	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∀wral 2370  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867  dom cdm 4467  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  1c1 7448   < clt 7619   − cmin 7750  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118  ℝ⁺crp 9233  abscabs 10561   ⇝ cli 10837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838

This theorem is referenced by:  serf0  10911