Theorem climcaucn 11972

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11968 but adds the part that (𝐹‘𝑘) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		1rp 9935	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		climdm 11916	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7	6	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 11908	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
10		simpl 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralimi 2596	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	reximi 2630	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 12	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14		eluzelz 9808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14, 1	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
16		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
17	16	climcau 11968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
19	16	r19.29uz 11613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
20	19	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
21	20	ralimdv 2601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
22	18, 21	mpan9 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
23	22	an32s 570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
26	1, 16	cau4 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
27	26	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
28	25, 27	sylibrd 169	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
29	28	rexlimdvaa 2652	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
30	29	com23 78	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
31	30	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
32	13, 31	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  1c1 8076   < clt 8257   − cmin 8393  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798  ℝ⁺crp 9931  abscabs 11618   ⇝ cli 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-rp 9932  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900

This theorem is referenced by:  serf0  11973