Theorem climcaucn 11916

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11912 but adds the part that (𝐹‘𝑘) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcauc.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcaucn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcaucn

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcauc.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		1rp 9892	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℝ+)
5		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
6		climdm 11860	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
7	6	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
8	7	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
9	1, 2, 4, 5, 8	climi 11852	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
10		simpl 109	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	10	ralimi 2595	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
12	11	reximi 2629	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	9, 12	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
15	14, 1	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
16		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
17	16	climcau 11912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
18	15, 17	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
19	16	r19.29uz 11557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
20	19	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
21	20	ralimdv 2600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
22	18, 21	mpan9 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
23	22	an32s 570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
24	23	adantll 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
25	24	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
26	1, 16	cau4 11681	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
27	26	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
28	25, 27	sylibrd 169	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
29	28	rexlimdvaa 2651	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
30	29	com23 78	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))))
31	30	imp 124	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
32	13, 31	mpd 13	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  1c1 8033   < clt 8214   − cmin 8350  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ℝ⁺crp 9888  abscabs 11562   ⇝ cli 11843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844

This theorem is referenced by:  serf0  11917