ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcaucn GIF version

Theorem climcaucn 11301
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. This is like climcau 11297 but adds the part that (𝐹𝑘) is complex. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
climcauc.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climcaucn ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcaucn
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcauc.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpl 108 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 1rp 9601 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 9 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2171 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
6 climdm 11245 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
76biimpi 119 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
87adantl 275 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
91, 2, 4, 5, 8climi 11237 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1))
10 simpl 108 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1110ralimi 2533 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1211reximi 2567 . . 3 (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − ( ⇝ ‘𝐹))) < 1) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 12syl 14 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
14 eluzelz 9483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514, 1eleq2s 2265 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
16 eqid 2170 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
1716climcau 11297 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1815, 17sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
1916r19.29uz 10943 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2019ex 114 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2120ralimdv 2538 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2218, 21mpan9 279 . . . . . . . . 9 (((𝑛𝑍𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2322an32s 563 . . . . . . . 8 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2423adantll 473 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
2524ex 114 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
261, 16cau4 11067 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2726ad2antrl 487 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2825, 27sylibrd 168 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
2928rexlimdvaa 2588 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
3029com23 78 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))))
3130imp 123 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐹𝑘) ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3213, 31mpd 13 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449   class class class wbr 3987  dom cdm 4609  cfv 5196  (class class class)co 5850  cc 7759  1c1 7762   < clt 7941  cmin 8077  cz 9199  cuz 9474  +crp 9597  abscabs 10948  cli 11228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229
This theorem is referenced by:  serf0  11302
  Copyright terms: Public domain W3C validator