ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blssex GIF version

Theorem blssex 12613
Description: Two ways to express the existence of a ball subset. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssex ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐴   𝐷,𝑟,𝑥   𝑃,𝑟,𝑥   𝑋,𝑟,𝑥

Proof of Theorem blssex
StepHypRef Expression
1 blss 12611 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥)
2 sstr 3105 . . . . . . . . 9 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
32expcom 115 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
43reximdv 2533 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
51, 4syl5com 29 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
653expa 1181 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) ∧ 𝑃𝑥) → (𝑥𝐴 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
76expimpd 360 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
87adantlr 468 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)) → ((𝑃𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
98rexlimdva 2549 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
10 simpll 518 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 simplr 519 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃𝑋)
12 rpxr 9461 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
1312ad2antrl 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
14 blelrn 12603 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
1510, 11, 13, 14syl3anc 1216 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷))
16 simprl 520 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
17 blcntr 12599 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
1810, 11, 16, 17syl3anc 1216 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → 𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟))
19 simprr 521 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)
20 eleq2 2203 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟)))
21 sseq1 3120 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
2220, 21anbi12d 464 . . . . 5 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) → ((𝑃𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)))
2322rspcev 2789 . . . 4 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑃 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
2415, 18, 19, 23syl12anc 1214 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
2524rexlimdvaa 2550 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
269, 25impbid 128 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417  wss 3071  ran crn 4540  cfv 5123  (class class class)co 5774  *cxr 7811  +crp 9453  ∞Metcxmet 12163  ballcbl 12165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-bl 12173
This theorem is referenced by:  blbas  12616  elmopn2  12632  mopni2  12666  metss  12677  tgioo  12729
  Copyright terms: Public domain W3C validator