Theorem pcprmpw2 12241

Description: Self-referential expression for a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pcprmpw2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem pcprmpw2

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 9158	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∈ ℕ0)
3		prmnn 12021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		pccl 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 10599	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
8	7	nnnn0d 9158	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
9	6	nn0red 9159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	leidd 8403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
11		simpll 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝑃 ∈ ℙ)
12	6	nn0zd 9302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
13		pcid 12232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
14	11, 12, 13	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt 𝐴))
15	10, 14	breqtrrd 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
16	15	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
17		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
18	17	oveq1d 5851	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 𝐴))
19	17	oveq1d 5851	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
20	16, 18, 19	3brtr4d 4008	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
21		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))
22		prmz 12022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
23	22	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
24	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
26		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
27	4, 26	nnexpcld 10599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
30		dvdstr 11754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛)))
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛)))
32	21, 31	mpan2d 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛)))
33		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
34	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
35		simplrl 525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
36		prmdvdsexpr 12059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝑛) → 𝑝 = 𝑃))
38	32, 37	syld 45	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝐴 → 𝑝 = 𝑃))
39	38	necon3ad 2376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ 𝐴))
40	39	imp 123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ 𝐴)
41		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
42	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℕ)
43		pceq0 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝐴))
44	41, 42, 43	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ 𝐴))
45	40, 44	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) = 0)
46	7	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
47	41, 46	pccld 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) ∈ ℕ0)
48	47	nn0ge0d 9161	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
49	45, 48	eqbrtrd 3998	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
50		prmz 12022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
52	51	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
53		zdceq 9257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 = 𝑃)
54	23, 52, 53	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝 = 𝑃)
55		dcne 2345	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑝 = 𝑃 ↔ (𝑝 = 𝑃 ∨ 𝑝 ≠ 𝑃))
56	54, 55	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 = 𝑃 ∨ 𝑝 ≠ 𝑃))
57	20, 49, 56	mpjaodan 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
58	57	ralrimiva 2537	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
59	1	nnzd 9303	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∈ ℤ)
60	7	nnzd 9303	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
61		pc2dvds 12238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
62	59, 60, 61	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))))
63	58, 62	mpbird 166	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
64		pcdvds 12223	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
65	64	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
66		dvdseq 11771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
67	2, 8, 63, 65, 66	syl22anc 1228	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛))) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
68	67	rexlimdvaa 2582	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
69	3	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
70	69, 5	nnexpcld 10599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
71	70	nnzd 9303	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
72		iddvds 11730	. . . . 5 ⊢ ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
73	71, 72	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
74		oveq2 5844	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
75	74	breq2d 3988	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
76	75	rspcev 2825	. . . 4 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛))
77	5, 73, 76	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛))
78		breq1 3979	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛)))
79	78	rexbidv 2465	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃↑𝑛)))
80	77, 79	syl5ibrcom 156	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛)))
81	68, 80	impbid 128	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   ≠ wne 2334  ∀wral 2442  ∃wrex 2443   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836  0cc0 7744   ≤ cle 7925  ℕcn 8848  ℕ₀cn0 9105  ℤcz 9182  ↑cexp 10444   ∥ cdvds 11713  ℙcprime 12018   pCnt cpc 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-2o 6376  df-er 6492  df-en 6698  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-xnn0 9169  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714  df-gcd 11861  df-prm 12019  df-pc 12194

This theorem is referenced by:  pcprmpw  12242  dvdsprmpweq  12243