Theorem rexanuz 11132

Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rexanuz	⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘   𝜑,𝑗   𝜓,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2620	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
2	1	rexbii 2501	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
3		r19.40 2648	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
4	2, 3	sylbi 121	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
5		uzf 9595	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
6		ffn 5403	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
7		raleq 2690	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
8	7	rexrn 5695	. . . 4 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
9	5, 6, 8	mp2b 8	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
10		raleq 2690	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
11	10	rexrn 5695	. . . 4 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
12	5, 6, 11	mp2b 8	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
13		uzin2 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ 𝑦 ∈ ran ℤ≥) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ran ℤ≥)
14		inss1 3379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑥
15		ssralv 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜑))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜑)
17		inss2 3380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦
18		ssralv 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ 𝑦 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓 → ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜓))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓 → ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜓)
20	16, 19	anim12i 338	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜓))
21		r19.26 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝜓))
22	20, 21	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓) → ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)(𝜑 ∧ 𝜓))
23		raleq 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦) → (∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)(𝜑 ∧ 𝜓)))
24	23	rspcev 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)(𝜑 ∧ 𝜓)) → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓))
25	13, 22, 24	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ 𝑦 ∈ ran ℤ≥) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓)) → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓))
26	25	an4s 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓)) → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓))
27	26	rexlimdvaa 2612	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ran ℤ≥ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓)))
28	27	rexlimiva 2606	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓 → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓)))
29	28	imp 124	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓) → ∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓))
30		raleq 2690	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
31	30	rexrn 5695	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓)))
32	5, 6, 31	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑧 (𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))
33	29, 32	sylib 122	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑥 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥∀𝑘 ∈ 𝑦 𝜓) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))
34	9, 12, 33	syl2anbr 292	. 2 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓))
35	4, 34	impbii 126	1 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601  ran crn 4660   Fn wfn 5249  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  rexfiuz  11133  rexuz3  11134  rexanuz2  11135