Theorem rspccv 2904

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspccv	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspccv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspcv.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2	1	rspcv 2903	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))
3	2	com12 30	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801

This theorem is referenced by:  elinti  3931  ofrval  6227  supubti  7162  suplubti  7163  suplocsrlempr  7990  pitonn  8031  peano5uzti  9551  zindd  9561  1arith  12885  basis2  14716  tg2  14728  mopni  15150  metrest  15174  metcnpi  15183  metcnpi2  15184  plycj  15429  decidi  16117  sumdc2  16121