Theorem zindd 9603

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
zindd.4	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindd.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
zindd.6	⊢ (𝜁 → 𝜓)
zindd.7	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
zindd.8	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))

Assertion

Ref	Expression
zindd	⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2		elznn0nn 9498	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
5	4	orim2i 768	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7		zcn 9489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	negnegd 8486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
9	8	eleq1d 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
10	9	orbi2d 797	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ)))
11	6, 10	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ))
12		zindd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
13	12	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜓)))
14		zindd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
15	14	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜒)))
16		zindd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
17	16	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜏)))
18		zindd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
19	18	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜃)))
20		zindd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜁 → 𝜓)
21		zindd.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
22	21	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒 → 𝜏)))
23	22	a2d 26	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁 → 𝜒) → (𝜁 → 𝜏)))
24	13, 15, 17, 19, 20, 23	nn0ind 9599	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜃))
25	24	com12 30	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0 → 𝜃))
26		nnnn0 9414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
27	13, 15, 17, 15, 20, 23	nn0ind 9599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜒))
28	26, 27	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜁 → 𝜒))
29	28	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
30		zindd.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))
31	29, 30	mpdd 41	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
32	25, 31	jaod 724	. . . 4 ⊢ (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
33	11, 32	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
34	33	ralrimiv 2603	. 2 ⊢ (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
35		znegcl 9515	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
36		negeq 8377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
37		zcn 9489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	negnegd 8486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
39	36, 38	sylan9eqr 2285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
40	39	eqcomd 2236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
41	40, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜃))
42	41	bicomd 141	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃 ↔ 𝜑))
43	35, 42	rspcdv 2912	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → 𝜑))
44	43	com12 30	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
45	44	ralrimiv 2603	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
46		zindd.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
47	46	rspccv 2906	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
48	34, 45, 47	3syl 17	1 ⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040  -cneg 8356  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-n0 9408  df-z 9485

This theorem is referenced by:  efexp  12266  pcexp  12905  mulgaddcom  13756  mulginvcom  13757  mulgneg2  13766  mulgass2  14095  cnfldmulg  14614