Theorem zindd 9342

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1	⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
zindd.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
zindd.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
zindd.4	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
zindd.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
zindd.6	⊢ (𝜁 → 𝜓)
zindd.7	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
zindd.8	⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))

Assertion

Ref	Expression
zindd	⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2		elznn0nn 9238	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
5	4	orim2i 761	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7		zcn 9229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	7	negnegd 8233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
9	8	eleq1d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
10	9	orbi2d 790	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ)))
11	6, 10	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ))
12		zindd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝜑 ↔ 𝜓))
13	12	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜓)))
14		zindd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
15	14	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜒)))
16		zindd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜏))
17	16	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜏)))
18		zindd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜃))
19	18	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁 → 𝜑) ↔ (𝜁 → 𝜃)))
20		zindd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜁 → 𝜓)
21		zindd.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒 → 𝜏)))
22	21	com12 30	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒 → 𝜏)))
23	22	a2d 26	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁 → 𝜒) → (𝜁 → 𝜏)))
24	13, 15, 17, 19, 20, 23	nn0ind 9338	. . . . . 6 ⊢ (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜃))
25	24	com12 30	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0 → 𝜃))
26		nnnn0 9154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
27	13, 15, 17, 15, 20, 23	nn0ind 9338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → 𝜒))
28	26, 27	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜁 → 𝜒))
29	28	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
30		zindd.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒 → 𝜃)))
31	29, 30	mpdd 41	. . . . 5 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
32	25, 31	jaod 717	. . . 4 ⊢ (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
33	11, 32	syl5 32	. . 3 ⊢ (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
34	33	ralrimiv 2547	. 2 ⊢ (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
35		znegcl 9255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
36		negeq 8124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
37		zcn 9229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	negnegd 8233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
39	36, 38	sylan9eqr 2230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
40	39	eqcomd 2181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
41	40, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜃))
42	41	bicomd 141	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃 ↔ 𝜑))
43	35, 42	rspcdv 2842	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → 𝜑))
44	43	com12 30	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
45	44	ralrimiv 2547	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
46		zindd.5	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
47	46	rspccv 2836	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
48	34, 45, 47	3syl 17	1 ⊢ (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789  -cneg 8103  ℕcn 8890  ℕ₀cn0 9147  ℤcz 9224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225

This theorem is referenced by:  efexp  11656  pcexp  12274  mulgaddcom  12865  mulginvcom  12866  mulgneg2  12875  mulgass2  13029