Theorem sumdc2 15529

Description: Alternate proof of sumdc 11540, without disjoint variable condition on 𝑁, 𝑥 (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11540). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumdc2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumdc2.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
sumdc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
2		sumdc2.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	3	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	rspccv 2865	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
6		exmiddc 837	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
9	8	decidr 15526	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin (ℤ≥‘𝑀))
10		sumdc2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		uzdcinzz 15528	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
13	1, 9, 12	decidin 15527	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin ℤ)
14		sumdc2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		df-dcin 15524	. . 3 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
16		nfv 1542	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧DECID 𝑁 ∈ 𝐴
17	16	rspct 2861	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)))
18		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
20	17, 19	mpg 1465	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
21	20	com12 30	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
22	15, 21	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
23	13, 14, 22	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5259  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618   DECID_in wdcin 15523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-dcin 15524

This theorem is referenced by: (None)