Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumdc2 GIF version

Theorem sumdc2 12840
 Description: Alternate proof of sumdc 11078, without disjoint variable condition on 𝑁, 𝑥 (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11078). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumdc2.ss (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
sumdc2.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
sumdc2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
sumdc2 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem sumdc2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdc2.ss . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2 sumdc2.dc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
3 eleq1 2178 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
43dcbid 806 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑦𝐴))
54rspccv 2758 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑦𝐴))
6 exmiddc 804 . . . . . 6 (DECID 𝑦𝐴 → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴))
75, 6syl6 33 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴)))
82, 7syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴)))
98decidr 12837 . . 3 (𝜑𝐴 DECIDin (ℤ𝑀))
10 sumdc2.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 uzdcinzz 12839 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
1210, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
131, 9, 12decidin 12838 . 2 (𝜑𝐴 DECIDin ℤ)
14 sumdc2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
15 df-dcin 12835 . . 3 (𝐴 DECIDin ℤ ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴)
16 nfv 1491 . . . . . 6 𝑧DECID 𝑁𝐴
1716rspct 2754 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴)))
18 eleq1 2178 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧𝐴𝑁𝐴))
1918dcbid 806 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴))
2017, 19mpg 1410 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴))
2120com12 30 . . 3 (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁𝐴))
2215, 21sylbi 120 . 2 (𝐴 DECIDin ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁𝐴))
2313, 14, 22sylc 62 1 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2391   ⊆ wss 3039  ‘cfv 5091  ℤcz 9008  ℤ≥cuz 9278   DECIDin wdcin 12834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-dcin 12835 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator