Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumdc2 GIF version

Theorem sumdc2 13755
Description: Alternate proof of sumdc 11308, without disjoint variable condition on 𝑁, 𝑥 (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11308). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumdc2.ss (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
sumdc2.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
sumdc2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
sumdc2 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem sumdc2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdc2.ss . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2 sumdc2.dc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
3 eleq1 2233 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
43dcbid 833 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑦𝐴))
54rspccv 2831 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑦𝐴))
6 exmiddc 831 . . . . . 6 (DECID 𝑦𝐴 → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴))
75, 6syl6 33 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴)))
82, 7syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴)))
98decidr 13752 . . 3 (𝜑𝐴 DECIDin (ℤ𝑀))
10 sumdc2.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 uzdcinzz 13754 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
1210, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
131, 9, 12decidin 13753 . 2 (𝜑𝐴 DECIDin ℤ)
14 sumdc2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
15 df-dcin 13750 . . 3 (𝐴 DECIDin ℤ ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴)
16 nfv 1521 . . . . . 6 𝑧DECID 𝑁𝐴
1716rspct 2827 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴)))
18 eleq1 2233 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧𝐴𝑁𝐴))
1918dcbid 833 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴))
2017, 19mpg 1444 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴))
2120com12 30 . . 3 (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁𝐴))
2215, 21sylbi 120 . 2 (𝐴 DECIDin ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁𝐴))
2313, 14, 22sylc 62 1 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wss 3121  cfv 5196  cz 9199  cuz 9474   DECIDin wdcin 13749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-dcin 13750
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator