Theorem sumdc2 14904

Description: Alternate proof of sumdc 11380, without disjoint variable condition on 𝑁, 𝑥 (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11380). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumdc2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumdc2.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
sumdc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
2		sumdc2.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		eleq1 2250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	3	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	rspccv 2850	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
6		exmiddc 837	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
9	8	decidr 14901	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin (ℤ≥‘𝑀))
10		sumdc2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		uzdcinzz 14903	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
13	1, 9, 12	decidin 14902	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin ℤ)
14		sumdc2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		df-dcin 14899	. . 3 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
16		nfv 1538	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧DECID 𝑁 ∈ 𝐴
17	16	rspct 2846	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)))
18		eleq1 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
20	17, 19	mpg 1461	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
21	20	com12 30	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
22	15, 21	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
23	13, 14, 22	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   ⊆ wss 3141  ‘cfv 5228  ℤcz 9267  ℤ_≥cuz 9542   DECID_in wdcin 14898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-dcin 14899

This theorem is referenced by: (None)