Theorem sumdc2 16810

Description: Alternate proof of sumdc 12107, without disjoint variable condition on 𝑁, 𝑥 (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 12107). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumdc2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumdc2.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
sumdc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
2		sumdc2.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	3	dcbid 850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	rspccv 2926	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
6		exmiddc 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
9	8	decidr 16807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin (ℤ≥‘𝑀))
10		sumdc2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		uzdcinzz 16809	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
13	1, 9, 12	decidin 16808	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin ℤ)
14		sumdc2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		df-dcin 16805	. . 3 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
16		nfv 1581	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧DECID 𝑁 ∈ 𝐴
17	16	rspct 2922	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)))
18		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
20	17, 19	mpg 1504	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
21	20	com12 30	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
22	15, 21	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
23	13, 14, 22	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5375  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904   DECID_in wdcin 16804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-dcin 16805

This theorem is referenced by: (None)