Theorem sumdc2 13006

Description: Alternate proof of sumdc 11127, without disjoint variable condition on 𝑁, 𝑥 (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 11127). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumdc2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumdc2.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
sumdc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
sumdc2	⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem sumdc2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdc2.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
2		sumdc2.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		eleq1 2202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	3	dcbid 823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
5	4	rspccv 2786	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → DECID 𝑦 ∈ 𝐴))
6		exmiddc 821	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴))
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)))
9	8	decidr 13003	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin (ℤ≥‘𝑀))
10		sumdc2.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		uzdcinzz 13005	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
12	10, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) DECIDin ℤ)
13	1, 9, 12	decidin 13004	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 DECIDin ℤ)
14		sumdc2.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		df-dcin 13001	. . 3 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴)
16		nfv 1508	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧DECID 𝑁 ∈ 𝐴
17	16	rspct 2782	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)))
18		eleq1 2202	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
19	18	dcbid 823	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
20	17, 19	mpg 1427	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
21	20	com12 30	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
22	15, 21	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝐴 DECIDin ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 ∈ 𝐴))
23	13, 14, 22	sylc 62	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   ⊆ wss 3071  ‘cfv 5123  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326   DECID_in wdcin 13000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-dcin 13001

This theorem is referenced by: (None)