Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumdc2 GIF version

Theorem sumdc2 11129
Description: Alternate proof of sumdc 10630, without DV condition on 𝑁, 𝑥 (longer because the statement is taylored to the proof sumdc 10630). (Contributed by BJ, 19-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumdc2.ss (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
sumdc2.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
sumdc2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
sumdc2 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem sumdc2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdc2.ss . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
2 sumdc2.dc . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴)
3 eleq1 2147 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
43dcbid 784 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑦𝐴))
54rspccv 2712 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑦𝐴))
6 exmiddc 780 . . . . . 6 (DECID 𝑦𝐴 → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴))
75, 6syl6 33 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑥𝐴 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴)))
82, 7syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑦𝐴 ∨ ¬ 𝑦𝐴)))
98decidr 11126 . . 3 (𝜑𝐴 DECIDin (ℤ𝑀))
10 sumdc2.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 uzdcinzz 11128 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
1210, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝑀) DECIDin ℤ)
131, 9, 12decidin 11127 . 2 (𝜑𝐴 DECIDin ℤ)
14 sumdc2.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
15 df-dcin 11124 . . 3 (𝐴 DECIDin ℤ ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴)
16 nfv 1464 . . . . . 6 𝑧DECID 𝑁𝐴
1716rspct 2708 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴)))
18 eleq1 2147 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧𝐴𝑁𝐴))
1918dcbid 784 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴))
2017, 19mpg 1383 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴DECID 𝑁𝐴))
2120com12 30 . . 3 (∀𝑧 ∈ ℤ DECID 𝑧𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁𝐴))
2215, 21sylbi 119 . 2 (𝐴 DECIDin ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁𝐴))
2313, 14, 22sylc 61 1 (𝜑DECID 𝑁𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wss 2988  cfv 4978  cz 8676  cuz 8944   DECIDin wdcin 11123
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-addcom 7382  ax-addass 7384  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0lt1 7388  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-cnre 7393  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-ltwlin 7395  ax-pre-lttrn 7396  ax-pre-ltadd 7398
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-sub 7592  df-neg 7593  df-inn 8351  df-n0 8600  df-z 8677  df-uz 8945  df-dcin 11124
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator