Theorem suplocsrlempr 7819

Description: Lemma for suplocsr 7821. The set 𝐵 has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
suplocsrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suplocsrlem.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑣<P 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ P (𝑤<P 𝑣 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑢)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑣,𝑦   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑤,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝐶,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ R)
4		0idsr 7779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R 0R) = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R 0R) = 𝐶)
6	5, 2	eqeltrd 2264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴)
7		1pr 7566	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
8	6, 7	jctil 312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1P ∈ P ∧ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
9		opeq1 3790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 1P → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨1P, 1P⟩)
10	9	eceq1d 6584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 1P → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
11		df-0r 7743	. . . . . . . 8 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1P → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = 0R)
13	12	oveq2d 5904	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1P → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R 0R))
14	13	eleq1d 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1P → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
16	14, 15	elrab2 2908	. . . 4 ⊢ (1P ∈ 𝐵 ↔ (1P ∈ P ∧ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
17	8, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1P ∈ 𝐵)
18		elex2 2765	. . 3 ⊢ (1P ∈ 𝐵 → ∃𝑣 𝑣 ∈ 𝐵)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 𝑣 ∈ 𝐵)
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
21		breq1 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 <R 𝑥 ↔ 𝐶 <R 𝑥))
22	21	rspccv 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 <R 𝑥))
23	2, 22	mpan9 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝐶 <R 𝑥)
24		0lt1sr 7777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0R <R 1R
25		0r 7762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0R ∈ R
26		1sr 7763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1R ∈ R
27		m1r 7764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1R ∈ R
28		ltasrg 7782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R <R 1R ↔ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R)))
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0R <R 1R ↔ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R))
30	24, 29	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R)
31		0idsr 7779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
33		m1p1sr 7772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R <R 0R
35		ltasrg 7782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 0R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R 0R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R)))
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-1R <R 0R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R)))
37	34, 36	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R))
38	37, 5	breqtrd 4041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐶)
39		ltsosr 7776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R Or R
40		ltrelsr 7750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R ⊆ (R × R)
41	39, 40	sotri 5036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +R -1R) <R 𝐶 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑥)
42	38, 41	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑥)
43		map2psrprg 7817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
46	42, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥)
47	23, 46	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥)
48		breq1 4018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) → (𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
49		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
50		breq2 4019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → (𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑦 <R 𝑥))
51	50	ralbidv 2487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥))
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥))
53	49, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
55	15	rabeq2i 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
56	55	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58	48, 54, 57	rspcdva 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
59	58	ralrimiva 2560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
61	60	reximdva 2589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → (∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
63	62	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
64	63	rexlimdvw 2608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
65	20, 64	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
66		elrabi 2902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} → 𝑤 ∈ P)
67		opeq1 3790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑎, 1P⟩)
68	67	eceq1d 6584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑎, 1P⟩] ~R )
69	68	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ))
70	69	eleq1d 2256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
71	70	cbvrabv 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
72	15, 71	eqtri 2208	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
73	66, 72	eleq2s 2282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ P)
74	73	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ P)
75		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ P)
76	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ R)
77		ltpsrprg 7815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑤<P 𝑣))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1248	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑤<P 𝑣))
79	78	ralbidva 2483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣))
80	79	rexbidva 2484	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣))
81	65, 80	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣)
82		suplocsrlem.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 7818	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ P (𝑣<P 𝑤 → (∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣<P 𝑢 ∨ ∀𝑢 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑤)))
84	19, 81, 83	suplocexpr 7737	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑣<P 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ P (𝑤<P 𝑣 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑢)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466  {crab 2469   ⊆ wss 3141  ⟨cop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  [cec 6546  Pcnp 7303  1_Pc1p 7304  <_P cltp 7307   ~_R cer 7308  Rcnr 7309  0_Rc0r 7310  1_Rc1r 7311  -1_Rcm1r 7312   +_R cplr 7313   <_R cltr 7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-iplp 7480  df-imp 7481  df-iltp 7482  df-enr 7738  df-nr 7739  df-plr 7740  df-mr 7741  df-ltr 7742  df-0r 7743  df-1r 7744  df-m1r 7745

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7820