Theorem suplocsrlempr 7748

Description: Lemma for suplocsr 7750. The set 𝐵 has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
suplocsrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suplocsrlem.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑣<P 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ P (𝑤<P 𝑣 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑢)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑣,𝑦   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑤,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝐶,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ R)
4		0idsr 7708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R 0R) = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R 0R) = 𝐶)
6	5, 2	eqeltrd 2243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴)
7		1pr 7495	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
8	6, 7	jctil 310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1P ∈ P ∧ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
9		opeq1 3758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 1P → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨1P, 1P⟩)
10	9	eceq1d 6537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 1P → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
11		df-0r 7672	. . . . . . . 8 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1P → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = 0R)
13	12	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1P → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R 0R))
14	13	eleq1d 2235	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1P → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
16	14, 15	elrab2 2885	. . . 4 ⊢ (1P ∈ 𝐵 ↔ (1P ∈ P ∧ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
17	8, 16	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1P ∈ 𝐵)
18		elex2 2742	. . 3 ⊢ (1P ∈ 𝐵 → ∃𝑣 𝑣 ∈ 𝐵)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 𝑣 ∈ 𝐵)
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
21		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 <R 𝑥 ↔ 𝐶 <R 𝑥))
22	21	rspccv 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 <R 𝑥))
23	2, 22	mpan9 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝐶 <R 𝑥)
24		0lt1sr 7706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0R <R 1R
25		0r 7691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0R ∈ R
26		1sr 7692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1R ∈ R
27		m1r 7693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1R ∈ R
28		ltasrg 7711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R <R 1R ↔ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R)))
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0R <R 1R ↔ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R))
30	24, 29	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R)
31		0idsr 7708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
33		m1p1sr 7701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R <R 0R
35		ltasrg 7711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 0R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R 0R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R)))
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-1R <R 0R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R)))
37	34, 36	mpbii 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R))
38	37, 5	breqtrd 4008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐶)
39		ltsosr 7705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R Or R
40		ltrelsr 7679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R ⊆ (R × R)
41	39, 40	sotri 4999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +R -1R) <R 𝐶 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑥)
42	38, 41	sylan 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑥)
43		map2psrprg 7746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
45	44	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
46	42, 45	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥)
47	23, 46	syldan 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥)
48		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) → (𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
49		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
50		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → (𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑦 <R 𝑥))
51	50	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥))
52	51	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥))
53	49, 52	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
55	15	rabeq2i 2723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
56	55	simprbi 273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
57	56	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58	48, 54, 57	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
59	58	ralrimiva 2539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
60	59	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
61	60	reximdva 2568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → (∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
63	62	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
64	63	rexlimdvw 2587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
65	20, 64	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
66		elrabi 2879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} → 𝑤 ∈ P)
67		opeq1 3758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑎, 1P⟩)
68	67	eceq1d 6537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑎, 1P⟩] ~R )
69	68	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ))
70	69	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
71	70	cbvrabv 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
72	15, 71	eqtri 2186	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
73	66, 72	eleq2s 2261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ P)
74	73	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ P)
75		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ P)
76	3	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ R)
77		ltpsrprg 7744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑤<P 𝑣))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑤<P 𝑣))
79	78	ralbidva 2462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣))
80	79	rexbidva 2463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣))
81	65, 80	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣)
82		suplocsrlem.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 7747	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ P (𝑣<P 𝑤 → (∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣<P 𝑢 ∨ ∀𝑢 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑤)))
84	19, 81, 83	suplocexpr 7666	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑣<P 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ P (𝑤<P 𝑣 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑢)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  {crab 2448   ⊆ wss 3116  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  [cec 6499  Pcnp 7232  1_Pc1p 7233  <_P cltp 7236   ~_R cer 7237  Rcnr 7238  0_Rc0r 7239  1_Rc1r 7240  -1_Rcm1r 7241   +_R cplr 7242   <_R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7749