Theorem suplocsrlempr 7891

Description: Lemma for suplocsr 7893. The set 𝐵 has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
suplocsrlem.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
suplocsrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
suplocsrlem.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsrlem.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑣<P 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ P (𝑤<P 𝑣 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑢)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑣,𝑦   𝑢,𝐴,𝑥,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑤,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝐶,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sseldd 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ R)
4		0idsr 7851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ R → (𝐶 +R 0R) = 𝐶)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R 0R) = 𝐶)
6	5, 2	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴)
7		1pr 7638	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
8	6, 7	jctil 312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1P ∈ P ∧ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
9		opeq1 3809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 1P → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨1P, 1P⟩)
10	9	eceq1d 6637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 1P → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
11		df-0r 7815	. . . . . . . 8 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1P → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = 0R)
13	12	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1P → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R 0R))
14	13	eleq1d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1P → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
16	14, 15	elrab2 2923	. . . 4 ⊢ (1P ∈ 𝐵 ↔ (1P ∈ P ∧ (𝐶 +R 0R) ∈ 𝐴))
17	8, 16	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1P ∈ 𝐵)
18		elex2 2779	. . 3 ⊢ (1P ∈ 𝐵 → ∃𝑣 𝑣 ∈ 𝐵)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 𝑣 ∈ 𝐵)
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
21		breq1 4037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 <R 𝑥 ↔ 𝐶 <R 𝑥))
22	21	rspccv 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 <R 𝑥))
23	2, 22	mpan9 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝐶 <R 𝑥)
24		0lt1sr 7849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0R <R 1R
25		0r 7834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0R ∈ R
26		1sr 7835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1R ∈ R
27		m1r 7836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1R ∈ R
28		ltasrg 7854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (0R <R 1R ↔ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R)))
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0R <R 1R ↔ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R))
30	24, 29	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 0R) <R (-1R +R 1R)
31		0idsr 7851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
33		m1p1sr 7844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1R <R 0R
35		ltasrg 7854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 0R ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (-1R <R 0R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R)))
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-1R <R 0R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R)))
37	34, 36	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R 0R))
38	37, 5	breqtrd 4060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +R -1R) <R 𝐶)
39		ltsosr 7848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R Or R
40		ltrelsr 7822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ <R ⊆ (R × R)
41	39, 40	sotri 5066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 +R -1R) <R 𝐶 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑥)
42	38, 41	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → (𝐶 +R -1R) <R 𝑥)
43		map2psrprg 7889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ R → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → ((𝐶 +R -1R) <R 𝑥 ↔ ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥))
46	42, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥)
47	23, 46	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥)
48		breq1 4037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) → (𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
49		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
50		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → (𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑦 <R 𝑥))
51	50	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥))
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥))
53	49, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
55	15	rabeq2i 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 ∈ P ∧ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
56	55	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴)
58	48, 54, 57	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
59	58	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥) → ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) ∧ 𝑣 ∈ P) → ((𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
61	60	reximdva 2599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → (∃𝑣 ∈ P (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
63	62	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
64	63	rexlimdvw 2618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R )))
65	20, 64	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ))
66		elrabi 2917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} → 𝑤 ∈ P)
67		opeq1 3809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ⟨𝑤, 1P⟩ = ⟨𝑎, 1P⟩)
68	67	eceq1d 6637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → [⟨𝑤, 1P⟩] ~R = [⟨𝑎, 1P⟩] ~R )
69	68	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) = (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ))
70	69	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
71	70	cbvrabv 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑤 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
72	15, 71	eqtri 2217	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = {𝑎 ∈ P ∣ (𝐶 +R [⟨𝑎, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
73	66, 72	eleq2s 2291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ P)
74	73	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ P)
75		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ P)
76	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ R)
77		ltpsrprg 7887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑤<P 𝑣))
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ((𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝑤<P 𝑣))
79	78	ralbidva 2493	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ P) → (∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣))
80	79	rexbidva 2494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 (𝐶 +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) <R (𝐶 +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ↔ ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣))
81	65, 80	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑣)
82		suplocsrlem.loc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 7890	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ P ∀𝑤 ∈ P (𝑣<P 𝑤 → (∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣<P 𝑢 ∨ ∀𝑢 ∈ 𝐵 𝑢<P 𝑤)))
84	19, 81, 83	suplocexpr 7809	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ P (∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑣<P 𝑤 ∧ ∀𝑤 ∈ P (𝑤<P 𝑣 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑤<P 𝑢)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  [cec 6599  Pcnp 7375  1_Pc1p 7376  <_P cltp 7379   ~_R cer 7380  Rcnr 7381  0_Rc0r 7382  1_Rc1r 7383  -1_Rcm1r 7384   +_R cplr 7385   <_R cltr 7387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-iplp 7552  df-imp 7553  df-iltp 7554  df-enr 7810  df-nr 7811  df-plr 7812  df-mr 7813  df-ltr 7814  df-0r 7815  df-1r 7816  df-m1r 7817

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7892