Theorem peano5uzti 9733

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑛))
2	1	elrab 2982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛))
3	2	anbi2i 461	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)))
4		zcn 9628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	4	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
6		zcn 9628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 8332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	subcld 8627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		npcan 8525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
10	5, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		subsub 8546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
13	11, 12	mp3an3 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
14	5, 6, 13	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
15		znn0sub 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16	15	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
17	16	anasss 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	adantll 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
20		nn0p1nn 9581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
22	14, 21	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
23		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
25		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
26	25	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
27	26	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
28	27	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
29		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
30	29	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
33		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
34	33	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
36	35	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
37		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
38	37	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
39	38	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
40	39	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
41		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
42	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	41, 42	pncan3d 8630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
44		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ 𝐴)
45	43, 44	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
47		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
48	47	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
49	48	rspccv 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
50	49	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
51		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
52	51	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
53	8	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
54		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 54	add32d 8484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
56	55	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
57	50, 56	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
60	59	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 9299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
63	22, 23, 24, 62	syl3c 63	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
64	10, 63	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
65	3, 64	sylanb 284	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
66	65	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) → 𝑛 ∈ 𝐴))
67	66	expdimp 259	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} → 𝑛 ∈ 𝐴))
68	67	ssrdv 3254	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)
69	68	ex 115	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  1c1 8170   + caddc 8172   ≤ cle 8351   − cmin 8487  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  peano5uzi  9734  uzind  9736