Theorem peano5uzti 9551

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑛))
2	1	elrab 2959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛))
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)))
4		zcn 9447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	4	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
6		zcn 9447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 8158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	subcld 8453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		npcan 8351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
10	5, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		subsub 8372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
13	11, 12	mp3an3 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
14	5, 6, 13	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
15		znn0sub 9508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16	15	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
17	16	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	adantll 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
20		nn0p1nn 9404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
22	14, 21	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
23		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
25		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
26	25	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
27	26	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
28	27	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
29		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
30	29	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
33		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
34	33	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
36	35	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
37		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
38	37	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
39	38	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
40	39	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
41		1cnd 8158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
42	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	41, 42	pncan3d 8456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
44		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ 𝐴)
45	43, 44	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
47		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
48	47	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
49	48	rspccv 2904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
50	49	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
51		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
52	51	nncnd 9120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
53	8	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
54		1cnd 8158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 54	add32d 8310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
56	55	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
57	50, 56	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
60	59	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 9122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
63	22, 23, 24, 62	syl3c 63	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
64	10, 63	eqeltrrd 2307	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
65	3, 64	sylanb 284	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
66	65	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) → 𝑛 ∈ 𝐴))
67	66	expdimp 259	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} → 𝑛 ∈ 𝐴))
68	67	ssrdv 3230	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)
69	68	ex 115	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  1c1 7996   + caddc 7998   ≤ cle 8178   − cmin 8313  ℕcn 9106  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  peano5uzi  9552  uzind  9554