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Theorem peano5uzti 9360
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4007 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁𝑘𝑁𝑛))
21elrab 2893 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛))
32anbi2i 457 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘}) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)))
4 zcn 9257 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
54ad2antrl 490 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
6 zcn 9257 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 1cnd 7972 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
86, 7subcld 8267 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9 npcan 8165 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
105, 8, 9syl2an 289 . . . . . . 7 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
12 subsub 8186 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
1311, 12mp3an3 1326 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
145, 6, 13syl2an 289 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
15 znn0sub 9317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
1615biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1716anasss 399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1817ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1918adantll 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
20 nn0p1nn 9214 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2214, 21eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
23 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 simpll 527 . . . . . . . 8 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
25 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
2625eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2726imbi2d 230 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
2827imbi2d 230 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
29 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
3029eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3130imbi2d 230 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
3231imbi2d 230 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
33 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
3433eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3534imbi2d 230 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
3635imbi2d 230 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
37 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
3837eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3938imbi2d 230 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
4039imbi2d 230 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
41 1cnd 7972 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
426adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4341, 42pncan3d 8270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
44 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁𝐴)
4543, 44eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
4645ex 115 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
47 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
4847eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4948rspccv 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
5049ad2antll 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
51 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5251nncnd 8932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
538ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
54 1cnd 7972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
5552, 53, 54add32d 8124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
5655eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
5750, 56sylibd 149 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
5857ex 115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5958a2d 26 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
6059ex 115 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
6160a2d 26 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
6228, 32, 36, 40, 46, 61nnind 8934 . . . . . . . 8 ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
6322, 23, 24, 62syl3c 63 . . . . . . 7 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
6410, 63eqeltrrd 2255 . . . . . 6 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛𝐴)
653, 64sylanb 284 . . . . 5 ((((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘}) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛𝐴)
6665expcom 116 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘}) → 𝑛𝐴))
6766expdimp 259 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} → 𝑛𝐴))
6867ssrdv 3161 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
6968ex 115 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cc 7808  1c1 7811   + caddc 7813  cle 7992  cmin 8127  cn 8918  0cn0 9175  cz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253
This theorem is referenced by:  peano5uzi  9361  uzind  9363
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