Theorem peano5uzti 9451

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
peano5uzti	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑛))
2	1	elrab 2920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛))
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)))
4		zcn 9348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	4	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
6		zcn 9348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 8059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	subcld 8354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
9		npcan 8252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
10	5, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
11		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		subsub 8273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
13	11, 12	mp3an3 1337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
14	5, 6, 13	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − 𝑁) + 1))
15		znn0sub 9408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
16	15	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
17	16	anasss 399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
19	18	adantll 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
20		nn0p1nn 9305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
22	14, 21	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
23		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
25		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
26	25	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
27	26	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
28	27	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
29		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
30	29	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32	31	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
33		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
34	33	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
36	35	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
37		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
38	37	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
39	38	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
40	39	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
41		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
42	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ ℂ)
43	41, 42	pncan3d 8357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁)
44		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑁 ∈ 𝐴)
45	43, 44	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
47		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
48	47	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
49	48	rspccv 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
50	49	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
51		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
52	51	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
53	8	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
54		1cnd 8059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
55	52, 53, 54	add32d 8211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
56	55	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
57	50, 56	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
58	57	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
59	58	a2d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
60	59	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
61	60	a2d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))))
62	28, 32, 36, 40, 46, 61	nnind 9023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
63	22, 23, 24, 62	syl3c 63	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
64	10, 63	eqeltrrd 2274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑛)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
65	3, 64	sylanb 284	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ 𝐴)
66	65	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘}) → 𝑛 ∈ 𝐴))
67	66	expdimp 259	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} → 𝑛 ∈ 𝐴))
68	67	ssrdv 3190	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)
69	68	ex 115	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  1c1 7897   + caddc 7899   ≤ cle 8079   − cmin 8214  ℕcn 9007  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  peano5uzi  9452  uzind  9454