Theorem rspcv 2903

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspcv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		rspcv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspc 2901	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801

This theorem is referenced by:  rspccv  2904  rspcva  2905  rspccva  2906  rspcdva  2912  rspc3v  2923  rr19.3v  2942  rr19.28v  2943  rspsbc  3112  rspc2vd  3193  intmin  3942  ralxfrALT  4557  ontr2exmid  4616  reg2exmidlema  4625  0elsucexmid  4656  funcnvuni  5389  acexmidlemcase  5995  tfrlem1  6452  tfrlem9  6463  oawordriexmid  6614  nneneq  7014  diffitest  7045  xpfi  7090  ordiso2  7198  exmidontriimlem3  7401  prnmaxl  7671  prnminu  7672  cauappcvgprlemm  7828  cauappcvgprlemladdru  7839  cauappcvgprlemladdrl  7840  caucvgsrlemcl  7972  caucvgsrlemfv  7974  caucvgsr  7985  axcaucvglemres  8082  lbreu  9088  nnsub  9145  supinfneg  9786  infsupneg  9787  ublbneg  9804  fzrevral  10297  zsupcllemex  10445  seq3caopr3  10708  seq3id3  10741  wrdind  11249  wrd2ind  11250  reuccatpfxs1lem  11273  recan  11615  cau3lem  11620  caubnd2  11623  climshftlemg  11808  subcn2  11817  climcau  11853  serf0  11858  sumdc  11864  isumrpcl  12000  clim2prod  12045  prodmodclem2  12083  ndvdssub  12436  dfgcd3  12526  dfgcd2  12530  coprmgcdb  12605  coprmdvds1  12608  nprm  12640  dvdsprm  12654  coprm  12661  sqrt2irr  12679  pcmpt  12861  pcmptdvds  12863  pcfac  12868  prmpwdvds  12873  lidrididd  13410  dfgrp2  13555  grpidinv2  13586  dfgrp3mlem  13626  issubg4m  13725  srgrz  13942  srglz  13943  srgisid  13944  rrgeq0i  14222  islmodd  14251  rmodislmod  14309  rnglidlmcl  14438  cnpnei  14887  lmss  14914  txlm  14947  psmet0  14995  metss  15162  metcnp3  15179  mulc1cncf  15257  cncfco  15259  2sqlem6  15793  2sqlem10  15798  usgruspgrben  15978  bj-indsuc  16249  bj-inf2vnlem2  16292  trirec0  16371  iswomni0  16378  neap0mkv  16396