Theorem rspcv 2780

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspcv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		rspcv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspc 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683

This theorem is referenced by:  rspccv  2781  rspcva  2782  rspccva  2783  rspcdva  2789  rspc3v  2800  rr19.3v  2818  rr19.28v  2819  rspsbc  2986  intmin  3786  ralxfrALT  4383  ontr2exmid  4435  reg2exmidlema  4444  0elsucexmid  4475  funcnvuni  5187  acexmidlemcase  5762  tfrlem1  6198  tfrlem9  6209  oawordriexmid  6359  nneneq  6744  diffitest  6774  xpfi  6811  ordiso2  6913  prnmaxl  7289  prnminu  7290  cauappcvgprlemm  7446  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  caucvgsrlemcl  7590  caucvgsrlemfv  7592  caucvgsr  7603  axcaucvglemres  7700  lbreu  8696  nnsub  8752  supinfneg  9383  infsupneg  9384  ublbneg  9398  fzrevral  9878  seq3caopr3  10247  seq3id3  10273  recan  10874  cau3lem  10879  caubnd2  10882  climshftlemg  11064  subcn2  11073  climcau  11109  serf0  11114  sumdc  11120  isumrpcl  11256  clim2prod  11301  ndvdssub  11616  zsupcllemex  11628  dfgcd3  11687  dfgcd2  11691  coprmgcdb  11758  coprmdvds1  11761  nprm  11793  dvdsprm  11806  coprm  11811  sqrt2irr  11829  cnpnei  12377  lmss  12404  txlm  12437  psmet0  12485  metss  12652  metcnp3  12669  mulc1cncf  12734  cncfco  12736  bj-indsuc  13115  bj-inf2vnlem2  13158