Theorem rspcv 2821

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspcv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1515	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		rspcv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspc 2819	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-v 2723

This theorem is referenced by:  rspccv  2822  rspcva  2823  rspccva  2824  rspcdva  2830  rspc3v  2841  rr19.3v  2860  rr19.28v  2861  rspsbc  3028  intmin  3838  ralxfrALT  4439  ontr2exmid  4496  reg2exmidlema  4505  0elsucexmid  4536  funcnvuni  5251  acexmidlemcase  5831  tfrlem1  6267  tfrlem9  6278  oawordriexmid  6429  nneneq  6814  diffitest  6844  xpfi  6886  ordiso2  6991  exmidontriimlem3  7170  prnmaxl  7420  prnminu  7421  cauappcvgprlemm  7577  cauappcvgprlemladdru  7588  cauappcvgprlemladdrl  7589  caucvgsrlemcl  7721  caucvgsrlemfv  7723  caucvgsr  7734  axcaucvglemres  7831  lbreu  8831  nnsub  8887  supinfneg  9524  infsupneg  9525  ublbneg  9542  fzrevral  10030  seq3caopr3  10406  seq3id3  10432  recan  11037  cau3lem  11042  caubnd2  11045  climshftlemg  11229  subcn2  11238  climcau  11274  serf0  11279  sumdc  11285  isumrpcl  11421  clim2prod  11466  prodmodclem2  11504  ndvdssub  11852  zsupcllemex  11864  dfgcd3  11928  dfgcd2  11932  coprmgcdb  11999  coprmdvds1  12002  nprm  12034  dvdsprm  12048  coprm  12053  sqrt2irr  12071  pcmpt  12250  pcmptdvds  12252  pcfac  12257  cnpnei  12760  lmss  12787  txlm  12820  psmet0  12868  metss  13035  metcnp3  13052  mulc1cncf  13117  cncfco  13119  bj-indsuc  13645  bj-inf2vnlem2  13688  trirec0  13757  iswomni0  13764