Theorem rspcv 2711

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspcv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1464	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		rspcv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspc 2709	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ∀wral 2355

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2617

This theorem is referenced by:  rspccv  2712  rspcva  2713  rspccva  2714  rspcdva  2720  rspc3v  2729  rr19.3v  2746  rr19.28v  2747  rspsbc  2910  intmin  3690  ralxfrALT  4261  ontr2exmid  4312  reg2exmidlema  4321  0elsucexmid  4352  funcnvuni  5044  acexmidlemcase  5601  tfrlem1  6020  tfrlem9  6031  oawordriexmid  6178  nneneq  6518  diffitest  6548  xpfi  6583  ordiso2  6664  prnmaxl  6983  prnminu  6984  cauappcvgprlemm  7140  cauappcvgprlemladdru  7151  cauappcvgprlemladdrl  7152  caucvgsrlemcl  7270  caucvgsrlemfv  7272  caucvgsr  7283  axcaucvglemres  7370  lbreu  8333  nnsub  8387  supinfneg  9007  infsupneg  9008  ublbneg  9022  fzrevral  9441  iseqval  9780  iseqfeq  9797  iseqcaopr3  9806  iseqid3s  9833  recan  10429  cau3lem  10434  caubnd2  10437  climshftlemg  10575  subcn2  10584  climcau  10618  serif0  10623  sumdc  10629  ndvdssub  10796  zsupcllemex  10808  dfgcd3  10865  dfgcd2  10869  coprmgcdb  10936  coprmdvds1  10939  nprm  10971  dvdsprm  10984  coprm  10989  sqrt2irr  11007  bj-indsuc  11252  bj-inf2vnlem2  11295