Theorem rspcv 2907

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
rspcv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		rspcv.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	rspc 2905	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805

This theorem is referenced by:  rspccv  2908  rspcva  2909  rspccva  2910  rspcdva  2916  rspc3v  2927  rr19.3v  2946  rr19.28v  2947  rspsbc  3116  rspc2vd  3197  intmin  3953  ralxfrALT  4570  ontr2exmid  4629  reg2exmidlema  4638  0elsucexmid  4669  funcnvuni  5406  acexmidlemcase  6023  suppfnss  6435  tfrlem1  6517  tfrlem9  6528  oawordriexmid  6681  nneneq  7086  diffitest  7119  xpfi  7167  ordiso2  7277  exmidontriimlem3  7481  prnmaxl  7751  prnminu  7752  cauappcvgprlemm  7908  cauappcvgprlemladdru  7919  cauappcvgprlemladdrl  7920  caucvgsrlemcl  8052  caucvgsrlemfv  8054  caucvgsr  8065  axcaucvglemres  8162  lbreu  9167  nnsub  9224  supinfneg  9873  infsupneg  9874  ublbneg  9891  fzrevral  10385  zsupcllemex  10536  seq3caopr3  10799  seq3id3  10832  ccatalpha  11239  wrdind  11352  wrd2ind  11353  reuccatpfxs1lem  11376  recan  11732  cau3lem  11737  caubnd2  11740  climshftlemg  11925  subcn2  11934  climcau  11970  serf0  11975  sumdc  11981  isumrpcl  12118  clim2prod  12163  prodmodclem2  12201  ndvdssub  12554  dfgcd3  12644  dfgcd2  12648  coprmgcdb  12723  coprmdvds1  12726  nprm  12758  dvdsprm  12772  coprm  12779  sqrt2irr  12797  pcmpt  12979  pcmptdvds  12981  pcfac  12986  prmpwdvds  12991  lidrididd  13528  dfgrp2  13673  grpidinv2  13704  dfgrp3mlem  13744  issubg4m  13843  srgrz  14061  srglz  14062  srgisid  14063  rrgeq0i  14342  islmodd  14372  rmodislmod  14430  rnglidlmcl  14559  cnpnei  15013  lmss  15040  txlm  15073  psmet0  15121  metss  15288  metcnp3  15305  mulc1cncf  15383  cncfco  15385  2sqlem6  15922  2sqlem10  15927  usgruspgrben  16110  wlk1walkdom  16283  wlkres  16303  clwwlkccatlem  16324  clwwlkext2edg  16346  bj-indsuc  16627  bj-inf2vnlem2  16670  pw1dceq  16709  trirec0  16759  iswomni0  16767  neap0mkv  16785