Theorem nn0ex 9283

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9278	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9024	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8048	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4228	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4486	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2277	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∪ cun 3163  {csn 3632  0cc0 7907  ℕcn 9018  ℕ₀cn0 9277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-i2m1 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-int 3885  df-inn 9019  df-n0 9278

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10559  nnenom  10560  uzennn  10562  xnn0nnen  10563  wrdexg  10980  expcnvap0  11732  expcnvre  11733  expcnv  11734  geolim  11741  mertenslem2  11766  eftlub  11920  bitsfval  12172  bitsf  12176  1arith  12609  znnen  12688  psrval  14346  fnpsr  14347  psrbag  14349  psrbasg  14354  psrelbas  14355  psrplusgg  14358  psraddcl  14360  psr0cl  14361  psr0lid  14362  psrnegcl  14363  psrlinv  14364  psrgrp  14365  psr1clfi  14368  mplsubgfilemm  14378  mplsubgfilemcl  14379  plyval  15122  elply2  15125  plyf  15127  elplyr  15130  plyaddlem1  15137  plyaddlem  15139  plymullem  15140  plyco  15149  plycj  15151  plyrecj  15153