Theorem nn0ex 9213

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9208	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 8956	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 7982	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4203	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4459	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2262	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∪ cun 3142  {csn 3607  0cc0 7842  ℕcn 8950  ℕ₀cn0 9207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-i2m1 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-uni 3825  df-int 3860  df-inn 8951  df-n0 9208

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10466  nnenom  10467  uzennn  10469  expcnvap0  11545  expcnvre  11546  expcnv  11547  geolim  11554  mertenslem2  11579  eftlub  11733  1arith  12402  znnen  12452  psrval  13961  fnpsr  13962  psrbag  13964  psrbasg  13968  psrelbas  13969  psrplusgg  13971  psraddcl  13973