Theorem nn0ex 9569

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9564	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9310	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8320	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4322	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4587	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  0cc0 8179  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  nn0ennn  10870  nnenom  10871  uzennn  10873  xnn0nnen  10874  wrdexg  11315  expcnvap0  12269  expcnvre  12270  expcnv  12271  geolim  12278  mertenslem2  12303  eftlub  12457  bitsfval  12709  bitsf  12713  1arith  13146  znnen  13289  psrval  15050  fnpsr  15051  psrbag  15053  psrbagaddclfi  15061  psrbasg  15065  psrelbas  15066  psrplusgg  15069  psraddcl  15071  psr0cl  15072  psr0lid  15073  psrnegcl  15074  psrlinv  15075  psrgrp  15076  psr1clfi  15079  mplsubgfilemm  15089  mplsubgfilemcl  15090  plyval  15833  elply2  15836  plyf  15838  elplyr  15841  plyaddlem1  15848  plyaddlem  15850  plymullem  15851  plyco  15860  plycj  15862  plyrecj  15864  clwwlknonmpo  16669  depindlem1  16747  depindlem2  16748