Theorem nn0ex 9574

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9569	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9313	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8321	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4322	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4587	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  0cc0 8180  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-i2m1 8285

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-inn 9308  df-n0 9569

This theorem is used by:  nn0ennn  10885  nnenom  10886  uzennn  10888  xnn0nnen  10889  wrdexg  11331  expcnvap0  12288  expcnvre  12289  expcnv  12290  geolim  12297  mertenslem2  12322  eftlub  12476  bitsfval  12728  bitsf  12732  1arith  13169  znnen  13341  psrval  15134  fnpsr  15135  psrbag  15137  psrbagaddclfi  15145  psrbaglefifi  15147  psrbasg  15150  psrelbas  15151  psrplusgg  15154  psraddcl  15156  psrmulrg  15158  psrmulfval  15159  psrmulclfilem  15161  psr0cl  15163  psr0lid  15164  psrnegcl  15165  psrlinv  15166  psrgrp  15167  psr1clfi  15170  mplsubgfilemm  15180  mplsubgfilemcl  15181  plyval  15924  elply2  15927  plyf  15929  elplyr  15932  plyaddlem1  15939  plyaddlem  15941  plymullem  15942  plyco  15951  plycj  15953  plyrecj  15955  clwwlknonmpo  16835  depindlem1  16913  depindlem2  16914