Theorem nn0ex 9255

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9250	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 8996	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8020	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4218	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4476	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2269	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {csn 3622  0cc0 7879  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-i2m1 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10525  nnenom  10526  uzennn  10528  xnn0nnen  10529  wrdexg  10946  expcnvap0  11667  expcnvre  11668  expcnv  11669  geolim  11676  mertenslem2  11701  eftlub  11855  bitsfval  12107  bitsf  12111  1arith  12536  znnen  12615  psrval  14220  fnpsr  14221  psrbag  14223  psrbasg  14227  psrelbas  14228  psrplusgg  14230  psraddcl  14232  plyval  14968  elply2  14971  plyf  14973  elplyr  14976  plyaddlem1  14983  plyaddlem  14985  plymullem  14986  plyco  14995  plycj  14997  plyrecj  14999