Theorem nn0ex 9450

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9445	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9191	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8216	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4281	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4544	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2304	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∪ cun 3199  {csn 3673  0cc0 8075  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-i2m1 8180

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-inn 9186  df-n0 9445

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10741  nnenom  10742  uzennn  10744  xnn0nnen  10745  wrdexg  11173  expcnvap0  12126  expcnvre  12127  expcnv  12128  geolim  12135  mertenslem2  12160  eftlub  12314  bitsfval  12566  bitsf  12570  1arith  13003  znnen  13082  psrval  14745  fnpsr  14746  psrbag  14748  psrbasg  14758  psrelbas  14759  psrplusgg  14762  psraddcl  14764  psr0cl  14765  psr0lid  14766  psrnegcl  14767  psrlinv  14768  psrgrp  14769  psr1clfi  14772  mplsubgfilemm  14782  mplsubgfilemcl  14783  plyval  15526  elply2  15529  plyf  15531  elplyr  15534  plyaddlem1  15541  plyaddlem  15543  plymullem  15544  plyco  15553  plycj  15555  plyrecj  15557  clwwlknonmpo  16352  depindlem1  16430  depindlem2  16431