Theorem nn0ex 9519

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9514	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9260	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4303	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4567	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2307	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3212  {csn 3694  0cc0 8143  ℕcn 9254  ℕ₀cn0 9513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-i2m1 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-inn 9255  df-n0 9514

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10819  nnenom  10820  uzennn  10822  xnn0nnen  10823  wrdexg  11260  expcnvap0  12213  expcnvre  12214  expcnv  12215  geolim  12222  mertenslem2  12247  eftlub  12401  bitsfval  12653  bitsf  12657  1arith  13090  znnen  13233  psrval  14940  fnpsr  14941  psrbag  14943  psrbagaddclfi  14951  psrbasg  14955  psrelbas  14956  psrplusgg  14959  psraddcl  14961  psr0cl  14962  psr0lid  14963  psrnegcl  14964  psrlinv  14965  psrgrp  14966  psr1clfi  14969  mplsubgfilemm  14979  mplsubgfilemcl  14980  plyval  15723  elply2  15726  plyf  15728  elplyr  15731  plyaddlem1  15738  plyaddlem  15740  plymullem  15741  plyco  15750  plycj  15752  plyrecj  15754  clwwlknonmpo  16549  depindlem1  16627  depindlem2  16628