Theorem nn0ex 9007

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9002	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 8750	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 7784	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4117	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4370	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2213	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ∪ cun 3074  {csn 3532  0cc0 7644  ℕcn 8744  ℕ₀cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-i2m1 7749

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-inn 8745  df-n0 9002

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10237  nnenom  10238  uzennn  10240  expcnvap0  11303  expcnvre  11304  expcnv  11305  geolim  11312  mertenslem2  11337  eftlub  11433  znnen  11947