Theorem nn0ex 9274

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9269	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9015	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8039	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4219	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4477	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2269	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {csn 3623  0cc0 7898  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-i2m1 8003

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-int 3876  df-inn 9010  df-n0 9269

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10544  nnenom  10545  uzennn  10547  xnn0nnen  10548  wrdexg  10965  expcnvap0  11686  expcnvre  11687  expcnv  11688  geolim  11695  mertenslem2  11720  eftlub  11874  bitsfval  12126  bitsf  12130  1arith  12563  znnen  12642  psrval  14300  fnpsr  14301  psrbag  14303  psrbasg  14308  psrelbas  14309  psrplusgg  14312  psraddcl  14314  psr0cl  14315  psr0lid  14316  psrnegcl  14317  psrlinv  14318  psrgrp  14319  psr1clfi  14322  mplsubgfilemm  14332  mplsubgfilemcl  14333  plyval  15076  elply2  15079  plyf  15081  elplyr  15084  plyaddlem1  15091  plyaddlem  15093  plymullem  15094  plyco  15103  plycj  15105  plyrecj  15107