Theorem nn0ex 9371

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9366	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9112	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4268	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4531	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2302	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195  {csn 3666  0cc0 7995  ℕcn 9106  ℕ₀cn0 9365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-i2m1 8100

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-inn 9107  df-n0 9366

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10650  nnenom  10651  uzennn  10653  xnn0nnen  10654  wrdexg  11077  expcnvap0  12008  expcnvre  12009  expcnv  12010  geolim  12017  mertenslem2  12042  eftlub  12196  bitsfval  12448  bitsf  12452  1arith  12885  znnen  12964  psrval  14624  fnpsr  14625  psrbag  14627  psrbasg  14632  psrelbas  14633  psrplusgg  14636  psraddcl  14638  psr0cl  14639  psr0lid  14640  psrnegcl  14641  psrlinv  14642  psrgrp  14643  psr1clfi  14646  mplsubgfilemm  14656  mplsubgfilemcl  14657  plyval  15400  elply2  15403  plyf  15405  elplyr  15408  plyaddlem1  15415  plyaddlem  15417  plymullem  15418  plyco  15427  plycj  15429  plyrecj  15431