Theorem nn0ex 9580

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9575	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9319	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8326	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4324	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4589	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  0cc0 8185  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-i2m1 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  nn0ennn  10891  nnenom  10892  uzennn  10894  xnn0nnen  10895  wrdexg  11337  expcnvap0  12294  expcnvre  12295  expcnv  12296  geolim  12303  mertenslem2  12328  eftlub  12482  bitsfval  12734  bitsf  12738  1arith  13175  znnen  13347  psrval  15159  fnpsr  15160  psrbag  15162  psrbagaddclfi  15170  psrbaglefifi  15172  psrbasg  15178  psrelbas  15179  psrplusgg  15182  psraddcl  15184  psrmulrg  15186  psrmulfval  15187  psrmulclfilem  15189  psr0cl  15191  psr0lid  15192  psrnegcl  15193  psrlinv  15194  psrgrp  15195  psr1clfi  15198  psrdifi  15202  psrdirfi  15203  mplsubgfilemm  15214  mplsubgfilemcl  15215  plyval  15958  elply2  15961  plyf  15963  elplyr  15966  plyaddlem1  15973  plyaddlem  15975  plymullem  15976  plyco  15985  plycj  15987  plyrecj  15989  clwwlknonmpo  16874  depindlem1  16952  depindlem2  16953