Theorem nn0ex 9580

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9575	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9319	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8326	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4324	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4589	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  0cc0 8185  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-i2m1 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  nn0ennn  10890  nnenom  10891  uzennn  10893  xnn0nnen  10894  wrdexg  11336  expcnvap0  12293  expcnvre  12294  expcnv  12295  geolim  12302  mertenslem2  12327  eftlub  12481  bitsfval  12733  bitsf  12737  1arith  13174  znnen  13346  psrval  15160  fnpsr  15161  psrbag  15163  snifpsrbagfi  15168  psrbagaddclfi  15173  psrbaglefifi  15175  psrbagmaxlem1  15178  psrbagmaxlemfi  15180  psrbasg  15187  psrelbas  15188  psrplusgg  15191  psraddcl  15193  psrmulrg  15195  psrmulfval  15196  psrmulclfilem  15198  psr0cl  15200  psr0lid  15201  psrnegcl  15202  psrlinv  15203  psrgrp  15204  psr1clfi  15207  psrdifi  15211  psrdirfi  15212  mvrval  15215  mvrffi  15218  mvrclfi  15226  plyval  15975  elply2  15978  plyf  15980  elplyr  15983  plyaddlem1  15990  plyaddlem  15992  plymullem  15993  plyco  16002  plycj  16004  plyrecj  16006  clwwlknonmpo  16891  depindlem1  16969  depindlem2  16970