Theorem nn0ex 9408

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9403	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9149	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8173	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4275	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4538	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2304	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  {csn 3669  0cc0 8032  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-i2m1 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10696  nnenom  10697  uzennn  10699  xnn0nnen  10700  wrdexg  11128  expcnvap0  12068  expcnvre  12069  expcnv  12070  geolim  12077  mertenslem2  12102  eftlub  12256  bitsfval  12508  bitsf  12512  1arith  12945  znnen  13024  psrval  14686  fnpsr  14687  psrbag  14689  psrbasg  14694  psrelbas  14695  psrplusgg  14698  psraddcl  14700  psr0cl  14701  psr0lid  14702  psrnegcl  14703  psrlinv  14704  psrgrp  14705  psr1clfi  14708  mplsubgfilemm  14718  mplsubgfilemcl  14719  plyval  15462  elply2  15465  plyf  15467  elplyr  15470  plyaddlem1  15477  plyaddlem  15479  plymullem  15480  plyco  15489  plycj  15491  plyrecj  15493  clwwlknonmpo  16285  depindlem1  16351  depindlem2  16352