Theorem nn0ex 9184

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9179	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 8927	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 7953	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4187	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4443	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2250	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∪ cun 3129  {csn 3594  0cc0 7813  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-i2m1 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-inn 8922  df-n0 9179

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10435  nnenom  10436  uzennn  10438  expcnvap0  11512  expcnvre  11513  expcnv  11514  geolim  11521  mertenslem2  11546  eftlub  11700  1arith  12367  znnen  12401