Theorem nn0ex 9396

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9391	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9137	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8161	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4271	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4534	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2302	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∪ cun 3196  {csn 3667  0cc0 8020  ℕcn 9131  ℕ₀cn0 9390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-i2m1 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3890  df-int 3925  df-inn 9132  df-n0 9391

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10683  nnenom  10684  uzennn  10686  xnn0nnen  10687  wrdexg  11111  expcnvap0  12050  expcnvre  12051  expcnv  12052  geolim  12059  mertenslem2  12084  eftlub  12238  bitsfval  12490  bitsf  12494  1arith  12927  znnen  13006  psrval  14667  fnpsr  14668  psrbag  14670  psrbasg  14675  psrelbas  14676  psrplusgg  14679  psraddcl  14681  psr0cl  14682  psr0lid  14683  psrnegcl  14684  psrlinv  14685  psrgrp  14686  psr1clfi  14689  mplsubgfilemm  14699  mplsubgfilemcl  14700  plyval  15443  elply2  15446  plyf  15448  elplyr  15451  plyaddlem1  15458  plyaddlem  15460  plymullem  15461  plyco  15470  plycj  15472  plyrecj  15474  clwwlknonmpo  16213