Theorem nn0ex 9398

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9393	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9139	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8163	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4273	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4536	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2302	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∪ cun 3196  {csn 3667  0cc0 8022  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-i2m1 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-inn 9134  df-n0 9393

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10685  nnenom  10686  uzennn  10688  xnn0nnen  10689  wrdexg  11114  expcnvap0  12053  expcnvre  12054  expcnv  12055  geolim  12062  mertenslem2  12087  eftlub  12241  bitsfval  12493  bitsf  12497  1arith  12930  znnen  13009  psrval  14670  fnpsr  14671  psrbag  14673  psrbasg  14678  psrelbas  14679  psrplusgg  14682  psraddcl  14684  psr0cl  14685  psr0lid  14686  psrnegcl  14687  psrlinv  14688  psrgrp  14689  psr1clfi  14692  mplsubgfilemm  14702  mplsubgfilemcl  14703  plyval  15446  elply2  15449  plyf  15451  elplyr  15454  plyaddlem1  15461  plyaddlem  15463  plymullem  15464  plyco  15473  plycj  15475  plyrecj  15477  clwwlknonmpo  16223