Theorem nn0ex 9573

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9568	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9312	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8320	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4322	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4587	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  0cc0 8179  ℕcn 9306  ℕ₀cn0 9567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-i2m1 8284

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-inn 9307  df-n0 9568

This theorem is used by:  nn0ennn  10883  nnenom  10884  uzennn  10886  xnn0nnen  10887  wrdexg  11329  expcnvap0  12285  expcnvre  12286  expcnv  12287  geolim  12294  mertenslem2  12319  eftlub  12473  bitsfval  12725  bitsf  12729  1arith  13166  znnen  13338  psrval  15099  fnpsr  15100  psrbag  15102  psrbagaddclfi  15110  psrbasg  15114  psrelbas  15115  psrplusgg  15118  psraddcl  15120  psr0cl  15121  psr0lid  15122  psrnegcl  15123  psrlinv  15124  psrgrp  15125  psr1clfi  15128  mplsubgfilemm  15138  mplsubgfilemcl  15139  plyval  15882  elply2  15885  plyf  15887  elplyr  15890  plyaddlem1  15897  plyaddlem  15899  plymullem  15900  plyco  15909  plycj  15911  plyrecj  15913  clwwlknonmpo  16767  depindlem1  16845  depindlem2  16846