Theorem nn0ex 9548

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9543	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 9289	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 8310	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4317	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4582	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2311	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3705  0cc0 8169  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-i2m1 8274

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  nn0ennn  10848  nnenom  10849  uzennn  10851  xnn0nnen  10852  wrdexg  11293  expcnvap0  12247  expcnvre  12248  expcnv  12249  geolim  12256  mertenslem2  12281  eftlub  12435  bitsfval  12687  bitsf  12691  1arith  13124  znnen  13267  psrval  14973  fnpsr  14974  psrbag  14976  psrbagaddclfi  14984  psrbasg  14988  psrelbas  14989  psrplusgg  14992  psraddcl  14994  psr0cl  14995  psr0lid  14996  psrnegcl  14997  psrlinv  14998  psrgrp  14999  psr1clfi  15002  mplsubgfilemm  15012  mplsubgfilemcl  15013  plyval  15756  elply2  15759  plyf  15761  elplyr  15764  plyaddlem1  15771  plyaddlem  15773  plymullem  15774  plyco  15783  plycj  15785  plyrecj  15787  clwwlknonmpo  16583  depindlem1  16661  depindlem2  16662