Theorem nn0ex 8679

Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ex	⊢ ℕ0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8674	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnex 8428	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
3		c0ex 7482	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4	3	snex 4020	. . 3 ⊢ {0} ∈ V
5	2, 4	unex 4266	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2160	1 ⊢ ℕ0 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1438  Vcvv 2619   ∪ cun 2997  {csn 3446  0cc0 7350  ℕcn 8422  ℕ₀cn0 8673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-i2m1 7450

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-inn 8423  df-n0 8674

This theorem is referenced by:  nn0ennn  9840  nnenom  9841  expcnvap0  10896  expcnvre  10897  expcnv  10898  geolim  10905  mertenslem2  10930  eftlub  10980  eucialgcvga  11318  eucialg  11319  znnen  11489