ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdg0 GIF version

Theorem rdg0 6277
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rdg0 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4050 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 dmeq 4734 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
3 fveq1 5413 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ∅ → (𝑔𝑥) = (∅‘𝑥))
43fveq2d 5418 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝐹‘(𝑔𝑥)) = (𝐹‘(∅‘𝑥)))
52, 4iuneq12d 3832 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) = 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
65uneq2d 3225 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
7 eqid 2137 . . . . . 6 (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
8 rdg.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
9 dm0 4748 . . . . . . . . . 10 dom ∅ = ∅
10 iuneq1 3821 . . . . . . . . . 10 (dom ∅ = ∅ → 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥))
12 0iun 3865 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1311, 12eqtri 2158 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1413, 1eqeltri 2210 . . . . . . 7 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) ∈ V
158, 14unex 4357 . . . . . 6 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) ∈ V
166, 7, 15fvmpt 5491 . . . . 5 (∅ ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
171, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
1817, 15eqeltri 2210 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V
19 df-irdg 6260 . . . 4 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
2019tfr0 6213 . . 3 (((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅))
2118, 20ax-mp 5 . 2 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅)
2213uneq2i 3222 . . . 4 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) = (𝐴 ∪ ∅)
2317, 22eqtri 2158 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 ∪ ∅)
24 un0 3391 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
2523, 24eqtri 2158 . 2 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = 𝐴
2621, 25eqtri 2158 1 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2681  cun 3064  c0 3358   ciun 3808  cmpt 3984  dom cdm 4534  cfv 5118  reccrdg 6259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-fv 5126  df-recs 6195  df-irdg 6260
This theorem is referenced by:  rdg0g  6278  om0  6347
  Copyright terms: Public domain W3C validator