ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdg0 GIF version

Theorem rdg0 6387
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rdg0 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4130 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 dmeq 4827 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
3 fveq1 5514 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ∅ → (𝑔𝑥) = (∅‘𝑥))
43fveq2d 5519 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝐹‘(𝑔𝑥)) = (𝐹‘(∅‘𝑥)))
52, 4iuneq12d 3910 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) = 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
65uneq2d 3289 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
7 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
8 rdg.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
9 dm0 4841 . . . . . . . . . 10 dom ∅ = ∅
10 iuneq1 3899 . . . . . . . . . 10 (dom ∅ = ∅ → 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥))
12 0iun 3944 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1311, 12eqtri 2198 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1413, 1eqeltri 2250 . . . . . . 7 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) ∈ V
158, 14unex 4441 . . . . . 6 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) ∈ V
166, 7, 15fvmpt 5593 . . . . 5 (∅ ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
171, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
1817, 15eqeltri 2250 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V
19 df-irdg 6370 . . . 4 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
2019tfr0 6323 . . 3 (((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅))
2118, 20ax-mp 5 . 2 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅)
2213uneq2i 3286 . . . 4 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) = (𝐴 ∪ ∅)
2317, 22eqtri 2198 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 ∪ ∅)
24 un0 3456 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
2523, 24eqtri 2198 . 2 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = 𝐴
2621, 25eqtri 2198 1 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cun 3127  c0 3422   ciun 3886  cmpt 4064  dom cdm 4626  cfv 5216  reccrdg 6369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-recs 6305  df-irdg 6370
This theorem is referenced by:  rdg0g  6388  om0  6458
  Copyright terms: Public domain W3C validator