ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbthlemi10 GIF version

Theorem sbthlemi10 6911
Description: Lemma for isbth 6912. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1 𝐴 ∈ V
sbthlem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthlem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
sbthlem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
sbthlemi10 ((EXMID ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑓,𝑔   𝑥,𝐻   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthlemi10
StepHypRef Expression
1 sbthlem.4 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
21brdom 6696 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 sbthlem.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
43brdom 6696 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴)
52, 4anbi12i 456 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
6 eeanv 1912 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
75, 6bitr4i 186 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
8 sbthlem.3 . . . . . . 7 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
9 vex 2715 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
109resex 4908 . . . . . . . 8 (𝑓 𝐷) ∈ V
11 vex 2715 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
1211cnvex 5125 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
1312resex 4908 . . . . . . . 8 (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V
1410, 13unex 4402 . . . . . . 7 ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V
158, 14eqeltri 2230 . . . . . 6 𝐻 ∈ V
16 sbthlem.2 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
173, 16, 8sbthlemi9 6910 . . . . . 6 ((EXMID𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
18 f1oen3g 6700 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1915, 17, 18sylancr 411 . . . . 5 ((EXMID𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
20193expib 1188 . . . 4 (EXMID → ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵))
2120exlimdvv 1877 . . 3 (EXMID → (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵))
227, 21syl5bi 151 . 2 (EXMID → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
2322imp 123 1 ((EXMID ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 963   = wceq 1335  wex 1472  wcel 2128  {cab 2143  Vcvv 2712  cdif 3099  cun 3100  wss 3102   cuni 3773   class class class wbr 3966  EXMIDwem 4156  ccnv 4586  cres 4589  cima 4590  1-1wf1 5168  1-1-ontowf1o 5170  cen 6684  cdom 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-exmid 4157  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-en 6687  df-dom 6688
This theorem is referenced by:  isbth  6912
  Copyright terms: Public domain W3C validator