Theorem sbthlemi10 6968

Description: Lemma for isbth 6969. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbthlem.2	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
sbthlem.3	⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
sbthlem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi10	⊢ ((EXMID ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑓,𝑔   𝑥,𝐻   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthlemi10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	brdom 6753	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		sbthlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	brdom 6753	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴)
5	2, 4	anbi12i 460	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
6		eeanv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
7	5, 6	bitr4i 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ ∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴))
8		sbthlem.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)))
9		vex 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10	9	resex 4950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∈ V
11		vex 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑔 ∈ V
12	11	cnvex 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡𝑔 ∈ V
13	12	resex 4950	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷)) ∈ V
14	10, 13	unex 4443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ↾ ∪ 𝐷) ∪ (◡𝑔 ↾ (𝐴 ∖ ∪ 𝐷))) ∈ V
15	8, 14	eqeltri 2250	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ V
16		sbthlem.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓 “ 𝑥))) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑥))}
17	3, 16, 8	sbthlemi9 6967	. . . . . 6 ⊢ ((EXMID ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵)
18		f1oen3g 6757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴–1-1-onto→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵)
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((EXMID ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
20	19	3expib 1206	. . . 4 ⊢ (EXMID → ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵))
21	20	exlimdvv 1897	. . 3 ⊢ (EXMID → (∃𝑓∃𝑔(𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑔:𝐵–1-1→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵))
22	7, 21	biimtrid 152	. 2 ⊢ (EXMID → ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵))
23	22	imp 124	1 ⊢ ((EXMID ∧ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)) → 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2739   ∖ cdif 3128   ∪ cun 3129   ⊆ wss 3131  ∪ cuni 3811   class class class wbr 4005  EXMIDwem 4196  ^◡ccnv 4627   ↾ cres 4630   “ cima 4631  –1-1→wf1 5215  –1-1-onto→wf1o 5217   ≈ cen 6741   ≼ cdom 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-exmid 4197  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-en 6744  df-dom 6745

This theorem is referenced by:  isbth  6969