Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbthlemi10 GIF version

Theorem sbthlemi10 6729
 Description: Lemma for isbth 6730. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1 𝐴 ∈ V
sbthlem.2 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
sbthlem.3 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
sbthlem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
sbthlemi10 ((EXMID ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑓,𝑔   𝑥,𝐻   𝑓,𝑔,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem sbthlemi10
StepHypRef Expression
1 sbthlem.4 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
21brdom 6521 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3 sbthlem.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
43brdom 6521 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴)
52, 4anbi12i 449 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
6 eeanv 1856 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1𝐴))
75, 6bitr4i 186 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ ∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴))
8 sbthlem.3 . . . . . . 7 𝐻 = ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)))
9 vex 2623 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
109resex 4766 . . . . . . . 8 (𝑓 𝐷) ∈ V
11 vex 2623 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
1211cnvex 4982 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
1312resex 4766 . . . . . . . 8 (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷)) ∈ V
1410, 13unex 4276 . . . . . . 7 ((𝑓 𝐷) ∪ (𝑔 ↾ (𝐴 𝐷))) ∈ V
158, 14eqeltri 2161 . . . . . 6 𝐻 ∈ V
16 sbthlem.2 . . . . . . 7 𝐷 = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔 “ (𝐵 ∖ (𝑓𝑥))) ⊆ (𝐴𝑥))}
173, 16, 8sbthlemi9 6728 . . . . . 6 ((EXMID𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵)
18 f1oen3g 6525 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝐻:𝐴1-1-onto𝐵) → 𝐴𝐵)
1915, 17, 18sylancr 406 . . . . 5 ((EXMID𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵)
20193expib 1147 . . . 4 (EXMID → ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵))
2120exlimdvv 1826 . . 3 (EXMID → (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1𝐵𝑔:𝐵1-1𝐴) → 𝐴𝐵))
227, 21syl5bi 151 . 2 (EXMID → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵))
2322imp 123 1 ((EXMID ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → 𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 925   = wceq 1290  ∃wex 1427   ∈ wcel 1439  {cab 2075  Vcvv 2620   ∖ cdif 2997   ∪ cun 2998   ⊆ wss 3000  ∪ cuni 3659   class class class wbr 3851  EXMIDwem 4035  ◡ccnv 4451   ↾ cres 4454   “ cima 4455  –1-1→wf1 5025  –1-1-onto→wf1o 5027   ≈ cen 6509   ≼ cdom 6510 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 777  df-dc 782  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-exmid 4036  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-en 6512  df-dom 6513 This theorem is referenced by:  isbth  6730
 Copyright terms: Public domain W3C validator