ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unen GIF version

Theorem unen 6678
Description: Equinumerosity of union of disjoint sets. Theorem 4 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unen (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem unen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6609 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 6609 . . 3 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷)
3 eeanv 1884 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷))
4 vex 2663 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
5 vex 2663 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
64, 5unex 4332 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ∈ V
7 f1oun 5355 . . . . . . 7 (((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝑥𝑦):(𝐴𝐶)–1-1-onto→(𝐵𝐷))
8 f1oen3g 6616 . . . . . . 7 (((𝑥𝑦) ∈ V ∧ (𝑥𝑦):(𝐴𝐶)–1-1-onto→(𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
96, 7, 8sylancr 410 . . . . . 6 (((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
109ex 114 . . . . 5 ((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
1110exlimivv 1852 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
123, 11sylbir 134 . . 3 ((∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
131, 2, 12syl2anb 289 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
1413imp 123 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  Vcvv 2660  cun 3039  cin 3040  c0 3333   class class class wbr 3899  1-1-ontowf1o 5092  cen 6600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-en 6603
This theorem is referenced by:  enpr2d  6679  phplem2  6715  fiunsnnn  6743  unsnfi  6775  endjusym  6949  pm54.43  7014  endjudisj  7034  djuen  7035  frecfzennn  10167  unennn  11837
  Copyright terms: Public domain W3C validator