ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unen GIF version

Theorem unen 6485
Description: Equinumerosity of union of disjoint sets. Theorem 4 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 11-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unen (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))

Proof of Theorem unen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6416 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 6416 . . 3 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷)
3 eeanv 1852 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷))
4 vex 2618 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
5 vex 2618 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
64, 5unex 4240 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ∈ V
7 f1oun 5236 . . . . . . 7 (((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝑥𝑦):(𝐴𝐶)–1-1-onto→(𝐵𝐷))
8 f1oen3g 6423 . . . . . . 7 (((𝑥𝑦) ∈ V ∧ (𝑥𝑦):(𝐴𝐶)–1-1-onto→(𝐵𝐷)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
96, 7, 8sylancr 405 . . . . . 6 (((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
109ex 113 . . . . 5 ((𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
1110exlimivv 1821 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
123, 11sylbir 133 . . 3 ((∃𝑥 𝑥:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑦 𝑦:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
131, 2, 12syl2anb 285 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷)))
1413imp 122 1 (((𝐴𝐵𝐶𝐷) ∧ ((𝐴𝐶) = ∅ ∧ (𝐵𝐷) = ∅)) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐵𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  Vcvv 2615  cun 2986  cin 2987  c0 3275   class class class wbr 3820  1-1-ontowf1o 4980  cen 6407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-en 6410
This theorem is referenced by:  phplem2  6521  fiunsnnn  6549  unsnfi  6581  pm54.43  6762  frecfzennn  9761  unennn  11085
  Copyright terms: Public domain W3C validator