Theorem xpsndisj 5189

Description: Cross products with two different singletons are disjoint. (Contributed by NM, 28-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xpsndisj	⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 × {𝐵}) ∩ (𝐶 × {𝐷})) = ∅)

Proof of Theorem xpsndisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 3752	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
2		xpdisj2 5188	. 2 ⊢ (({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ → ((𝐴 × {𝐵}) ∩ (𝐶 × {𝐷})) = ∅)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ((𝐴 × {𝐵}) ∩ (𝐶 × {𝐷})) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ≠ wne 2412   ∩ cin 3210  ∅c0 3508  {csn 3689   × cxp 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757

This theorem is referenced by:  xp01disj  6666