Theorem xp01disj 6424

Description: Cartesian products with the singletons of ordinals 0 and 1 are disjoint. (Contributed by NM, 2-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xp01disj	⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐶 × {1o})) = ∅

Proof of Theorem xp01disj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6423	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	necomi 2430	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
3		xpsndisj 5047	. 2 ⊢ (∅ ≠ 1o → ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐶 × {1o})) = ∅)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐶 × {1o})) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1353   ≠ wne 2345   ∩ cin 3126  ∅c0 3420  {csn 3589   × cxp 4618  1_oc1o 6400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-suc 4365  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-1o 6407

This theorem is referenced by:  endisj  6814