Theorem brcoss3 38456

Description: Alternate form of the 𝐴 and 𝐵 are cosets by 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcoss3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcoss3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcnvg 5864	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝐴◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐴))
2	1	elvd 3470	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐴))
3		brcnvg 5864	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝐵◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐵))
4	3	elvd 3470	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐵))
5	2, 4	bi2anan9 638	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢) ↔ (𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
6	5	exbidv 1921	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑢(𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢) ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
7		ecinn0 38376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑢(𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢)))
8		brcoss 38454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
9	6, 7, 8	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  Vcvv 3464   ∩ cin 3930  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658  [cec 8722   ≀ ccoss 38204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8726  df-coss 38434

This theorem is referenced by:  br2coss  38461  trcoss2  38507