Theorem brcoss3 38389

Description: Alternate form of the 𝐴 and 𝐵 are cosets by 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcoss3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcoss3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcnvg 5904	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝐴◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐴))
2	1	elvd 3494	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐴))
3		brcnvg 5904	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝐵◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐵))
4	3	elvd 3494	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐵))
5	2, 4	bi2anan9 637	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢) ↔ (𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
6	5	exbidv 1920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑢(𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢) ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
7		ecinn0 38309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑢(𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢)))
8		brcoss 38387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
9	6, 7, 8	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∩ cin 3975  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  [cec 8761   ≀ ccoss 38135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ec 8765  df-coss 38367

This theorem is referenced by:  br2coss  38394  trcoss2  38440