Theorem brcoss3 38832

Description: Alternate form of the 𝐴 and 𝐵 are cosets by 𝑅 binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 26-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brcoss3	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅))

Proof of Theorem brcoss3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcnvg 5823	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝐴◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐴))
2	1	elvd 3433	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐴))
3		brcnvg 5823	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ V) → (𝐵◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐵))
4	3	elvd 3433	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵◡𝑅𝑢 ↔ 𝑢𝑅𝐵))
5	2, 4	bi2anan9 639	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢) ↔ (𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
6	5	exbidv 1923	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑢(𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢) ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
7		ecinn0 38662	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑢(𝐴◡𝑅𝑢 ∧ 𝐵◡𝑅𝑢)))
8		brcoss 38830	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ∃𝑢(𝑢𝑅𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝐵)))
9	6, 7, 8	3bitr4rd 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≀ 𝑅𝐵 ↔ ([𝐴]◡𝑅 ∩ [𝐵]◡𝑅) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  Vcvv 3427   ∩ cin 3884  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5619  [cec 8630   ≀ ccoss 38492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5626  df-cnv 5628  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ec 8634  df-coss 38810

This theorem is referenced by:  br2coss  38837  trcoss2  38883