Theorem cmsms 25676

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmsms	⊢ (𝐺 ∈ CMetSp → 𝐺 ∈ MetSp)

Proof of Theorem cmsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
3	1, 2	iscms 25673	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMetSp ↔ (𝐺 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐺))))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMetSp → 𝐺 ∈ MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   × cxp 5648   ↾ cres 5652  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  distcds 17444  MetSpcms 24644  CMetccmet 25582  CMetSpccms 25660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-res 5662  df-iota 6496  df-fv 6549  df-cms 25663

This theorem is used by:  cmsss  25679  cmetcusp1  25681  rlmbn  25689  cmscsscms  25701  rrhcn  34677  dya2icoseg2  34958  sitgclbn  35023