Theorem cmsms 25276

Description: A complete metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmsms	⊢ (𝐺 ∈ CMetSp → 𝐺 ∈ MetSp)

Proof of Theorem cmsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
3	1, 2	iscms 25273	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ CMetSp ↔ (𝐺 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐺))))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ CMetSp → 𝐺 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   × cxp 5614   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  distcds 17170  MetSpcms 24234  CMetccmet 25182  CMetSpccms 25260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-res 5628  df-iota 6437  df-fv 6489  df-cms 25263

This theorem is referenced by:  cmsss  25279  cmetcusp1  25281  rlmbn  25289  cmscsscms  25301  rrhcn  34008  dya2icoseg2  34289  sitgclbn  34354