MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmetcusp1 25236
Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΉ)
cmetcusp1.d 𝐷 = ((distβ€˜πΉ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
cmetcusp1.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ CUnifSp)
Proof of Theorem cmetcusp1
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 25231 . . . 4 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
2 msxms 24315 . . . 4 (𝐹 ∈ MetSp β†’ 𝐹 ∈ ∞MetSp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4 cmetcusp1.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΉ)
5 cmetcusp1.d . . . 4 𝐷 = ((distβ€˜πΉ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
6 cmetcusp1.u . . . 4 π‘ˆ = (UnifStβ€˜πΉ)
74, 5, 6xmsusp 24433 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ UnifSp)
83, 7syl3an2 1161 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ UnifSp)
9 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·))
109fveq2d 6889 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) = (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)))
1110eleq2d 2813 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))))
12 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
134, 5cmscmet 25229 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
14 cmetmet 25169 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
15 metxmet 24195 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17163ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1817adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
20 cfilucfil4 25204 . . . . . 6 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
2211, 21bitrd 279 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
2423iscmet 25167 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
2524simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
2613, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜πΉ) = (TopOpenβ€˜πΉ)
2827, 4, 5xmstopn 24312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ∞MetSp β†’ (TopOpenβ€˜πΉ) = (MetOpenβ€˜π·))
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (TopOpenβ€˜πΉ) = (MetOpenβ€˜π·))
3029oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) = ((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐))
3130neeq1d 2994 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ… ↔ ((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3231ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3326, 32mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
3433r19.21bi 3242 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
3534ex 412 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
36353ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3822, 37sylbid 239 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3938ralrimiva 3140 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
404, 6, 27iscusp2 24162 . 2 (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)))
418, 39, 40sylanbrc 582 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ CUnifSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  distcds 17215  TopOpenctopn 17376  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  MetOpencmopn 21230  metUnifcmetu 21231  Filcfil 23704   fLim cflim 23793  UnifStcuss 24113  UnifSpcusp 24114  CauFiluccfilu 24146  CUnifSpccusp 24157  βˆžMetSpcxms 24178  MetSpcms 24179  CauFilccfil 25135  CMetccmet 25137  CMetSpccms 25215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-metu 21239  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-fil 23705  df-ust 24060  df-utop 24091  df-usp 24117  df-cfilu 24147  df-cusp 24158  df-xms 24181  df-ms 24182  df-cfil 25138  df-cmet 25140  df-cms 25218
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25240  recusp  25265
  Copyright terms: Public domain W3C validator