Theorem cmetcusp1 25305

Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmetcusp1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp1	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsms 25300	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2		msxms 24393	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4		cmetcusp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
5		cmetcusp1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		cmetcusp1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
7	4, 5, 6	xmsusp 24508	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
8	3, 7	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
10	9	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu‘𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
11	10	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
13	4, 5	cmscmet 25298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14		cmetmet 25238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		metxmet 24273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	16	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20		cfilucfil4 25273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
21	12, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
22	11, 21	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
24	23	iscmet 25236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
25	24	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
26	13, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
28	27, 4, 5	xmstopn 24390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
30	29	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
31	30	neeq1d 2991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
32	31	ralbidv 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
33	26, 32	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
34	33	r19.21bi 3234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	34	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
38	22, 37	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
39	38	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
40	4, 6, 27	iscusp2 24240	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
41	8, 39, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∅c0 4308   × cxp 5652   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  distcds 17280  TopOpenctopn 17435  ∞Metcxmet 21300  Metcmet 21301  MetOpencmopn 21305  metUnifcmetu 21306  Filcfil 23783   fLim cflim 23872  UnifStcuss 24192  UnifSpcusp 24193  CauFil_uccfilu 24224  CUnifSpccusp 24235  ∞MetSpcxms 24256  MetSpcms 24257  CauFilccfil 25204  CMetccmet 25206  CMetSpccms 25284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13368  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-metu 21314  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-fil 23784  df-ust 24139  df-utop 24170  df-usp 24196  df-cfilu 24225  df-cusp 24236  df-xms 24259  df-ms 24260  df-cfil 25207  df-cmet 25209  df-cms 25287

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25309  recusp  25334