Theorem cmetcusp1 25253

Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmetcusp1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp1	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsms 25248	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2		msxms 24342	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4		cmetcusp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
5		cmetcusp1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		cmetcusp1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
7	4, 5, 6	xmsusp 24457	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
8	3, 7	syl3an2 1164	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
10	9	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu‘𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
11	10	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
13	4, 5	cmscmet 25246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14		cmetmet 25186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		metxmet 24222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	16	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20		cfilucfil4 25221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
21	12, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
22	11, 21	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
24	23	iscmet 25184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
25	24	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
26	13, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
28	27, 4, 5	xmstopn 24339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
30	29	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
31	30	neeq1d 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
32	31	ralbidv 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
33	26, 32	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
34	33	r19.21bi 3229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	34	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36	35	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
38	22, 37	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
39	38	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
40	4, 6, 27	iscusp2 24189	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
41	8, 39, 40	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∅c0 4296   × cxp 5636   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  TopOpenctopn 17384  ∞Metcxmet 21249  Metcmet 21250  MetOpencmopn 21254  metUnifcmetu 21255  Filcfil 23732   fLim cflim 23821  UnifStcuss 24141  UnifSpcusp 24142  CauFil_uccfilu 24173  CUnifSpccusp 24184  ∞MetSpcxms 24205  MetSpcms 24206  CauFilccfil 25152  CMetccmet 25154  CMetSpccms 25232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ico 13312  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-metu 21263  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-fil 23733  df-ust 24088  df-utop 24119  df-usp 24145  df-cfilu 24174  df-cusp 24185  df-xms 24208  df-ms 24209  df-cfil 25155  df-cmet 25157  df-cms 25235

This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25257  recusp  25282