MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcusp1 23521
Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 23516 . . . 4 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2 msxms 22629 . . . 4 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4 cmetcusp1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐹)
5 cmetcusp1.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6 cmetcusp1.u . . . 4 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
74, 5, 6xmsusp 22744 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
83, 7syl3an2 1209 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9 simpl3 1252 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
109fveq2d 6437 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
1110eleq2d 2892 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12 simpl1 1248 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
134, 5cmscmet 23514 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 cmetmet 23454 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 metxmet 22509 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17163ad2ant2 1170 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1817adantr 474 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20 cfilucfil4 23489 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1496 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2211, 21bitrd 271 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2423iscmet 23452 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
2524simprbi 492 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
2613, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
2827, 4, 5xmstopn 22626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
3029oveq1d 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
3130neeq1d 3058 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3231ralbidv 3195 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3326, 32mpbird 249 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3433r19.21bi 3141 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3534ex 403 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36353ad2ant2 1170 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3736adantr 474 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3822, 37sylbid 232 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3938ralrimiva 3175 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
404, 6, 27iscusp2 22476 . 2 (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
418, 39, 40sylanbrc 580 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wral 3117  c0 4144   × cxp 5340  cres 5344  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  distcds 16314  TopOpenctopn 16435  ∞Metcxmet 20091  Metcmet 20092  MetOpencmopn 20096  metUnifcmetu 20097  Filcfil 22019   fLim cflim 22108  UnifStcuss 22427  UnifSpcusp 22428  CauFiluccfilu 22460  CUnifSpccusp 22471  ∞MetSpcxms 22492  MetSpcms 22493  CauFilccfil 23420  CMetccmet 23422  CMetSpccms 23500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ico 12469  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-metu 20105  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-fil 22020  df-ust 22374  df-utop 22405  df-usp 22431  df-cfilu 22461  df-cusp 22472  df-xms 22495  df-ms 22496  df-cfil 23423  df-cmet 23425  df-cms 23503
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  23525  recusp  23550
  Copyright terms: Public domain W3C validator