Theorem cmetcusp1 25549

Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmetcusp1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u	⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cmetcusp1	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmsms 25544	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2		msxms 24648	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4		cmetcusp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐹)
5		cmetcusp1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		cmetcusp1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
7	4, 5, 6	xmsusp 24763	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
8	3, 7	syl3an2 1182	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
10	9	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu‘𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
11	10	eleq2d 2852	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
13	4, 5	cmscmet 25542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14		cmetmet 25482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		metxmet 24528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	13, 14, 15	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20		cfilucfil4 25517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
21	12, 18, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
22	11, 21	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23		eqid 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
24	23	iscmet 25480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
25	24	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
26	13, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
28	27, 4, 5	xmstopn 24645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
29	3, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
30	29	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
31	30	neeq1d 3020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
32	31	ralbidv 3191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
33	26, 32	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
34	33	r19.21bi 3260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
35	34	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36	35	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
38	22, 37	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
39	38	ralrimiva 3160	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
40	4, 6, 27	iscusp2 24495	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu‘𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
41	8, 39, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∅c0 4289   × cxp 5664   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  distcds 17344  TopOpenctopn 17499  ∞Metcxmet 21544  Metcmet 21545  MetOpencmopn 21549  metUnifcmetu 21550  Filcfil 24039   fLim cflim 24128  UnifStcuss 24447  UnifSpcusp 24448  CauFil_uccfilu 24479  CUnifSpccusp 24490  ∞MetSpcxms 24511  MetSpcms 24512  CauFilccfil 25448  CMetccmet 25450  CMetSpccms 25528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-metu 21558  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-fil 24040  df-ust 24395  df-utop 24425  df-usp 24451  df-cfilu 24480  df-cusp 24491  df-xms 24514  df-ms 24515  df-cfil 25451  df-cmet 25453  df-cms 25531

This theorem is used by:  cnfldcusp  25553  recusp  25578