MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmetcusp1 25299
Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΉ)
cmetcusp1.d 𝐷 = ((distβ€˜πΉ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
cmetcusp1.u π‘ˆ = (UnifStβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ CUnifSp)
Proof of Theorem cmetcusp1
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 25294 . . . 4 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐹 ∈ MetSp)
2 msxms 24378 . . . 4 (𝐹 ∈ MetSp β†’ 𝐹 ∈ ∞MetSp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4 cmetcusp1.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΉ)
5 cmetcusp1.d . . . 4 𝐷 = ((distβ€˜πΉ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
6 cmetcusp1.u . . . 4 π‘ˆ = (UnifStβ€˜πΉ)
74, 5, 6xmsusp 24496 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ UnifSp)
83, 7syl3an2 1161 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ UnifSp)
9 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·))
109fveq2d 6896 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) = (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)))
1110eleq2d 2811 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))))
12 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
134, 5cmscmet 25292 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
14 cmetmet 25232 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
15 metxmet 24258 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17163ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1817adantr 479 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
19 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
20 cfilucfil4 25267 . . . . . 6 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
2211, 21bitrd 278 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
2423iscmet 25230 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
2524simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
2613, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
27 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpenβ€˜πΉ) = (TopOpenβ€˜πΉ)
2827, 4, 5xmstopn 24375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ∞MetSp β†’ (TopOpenβ€˜πΉ) = (MetOpenβ€˜π·))
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (TopOpenβ€˜πΉ) = (MetOpenβ€˜π·))
3029oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) = ((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐))
3130neeq1d 2990 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ… ↔ ((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3231ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((MetOpenβ€˜π·) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3326, 32mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ βˆ€π‘ ∈ (CauFilβ€˜π·)((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
3433r19.21bi 3239 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)
3534ex 411 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CMetSp β†’ (𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
36353ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3736adantr 479 . . . 4 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3822, 37sylbid 239 . . 3 (((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) ∧ 𝑐 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
3938ralrimiva 3136 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…))
404, 6, 27iscusp2 24225 . 2 (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ βˆ€π‘ ∈ (Filβ€˜π‘‹)(𝑐 ∈ (CauFiluβ€˜π‘ˆ) β†’ ((TopOpenβ€˜πΉ) fLim 𝑐) β‰  βˆ…)))
418, 39, 40sylanbrc 581 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ = (metUnifβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ CUnifSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆ…c0 4318   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  distcds 17241  TopOpenctopn 17402  βˆžMetcxmet 21268  Metcmet 21269  MetOpencmopn 21273  metUnifcmetu 21274  Filcfil 23767   fLim cflim 23856  UnifStcuss 24176  UnifSpcusp 24177  CauFiluccfilu 24209  CUnifSpccusp 24220  βˆžMetSpcxms 24241  MetSpcms 24242  CauFilccfil 25198  CMetccmet 25200  CMetSpccms 25278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13362  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-metu 21282  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-fil 23768  df-ust 24123  df-utop 24154  df-usp 24180  df-cfilu 24210  df-cusp 24221  df-xms 24244  df-ms 24245  df-cfil 25201  df-cmet 25203  df-cms 25281
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25303  recusp  25328
  Copyright terms: Public domain W3C validator