MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcusp1 25400
Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x 𝑋 = (Base‘𝐹)
cmetcusp1.d 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
cmetcusp1.u 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)

Proof of Theorem cmetcusp1
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 25395 . . . 4 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ MetSp)
2 msxms 24479 . . . 4 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
4 cmetcusp1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐹)
5 cmetcusp1.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝐹) ↾ (𝑋 × 𝑋))
6 cmetcusp1.u . . . 4 𝑈 = (UnifSt‘𝐹)
74, 5, 6xmsusp 24597 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
83, 7syl3an2 1163 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ UnifSp)
9 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑈 = (metUnif‘𝐷))
109fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (CauFilu𝑈) = (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)))
1110eleq2d 2824 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))))
12 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
134, 5cmscmet 25393 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
14 cmetmet 25333 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15 metxmet 24359 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17163ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1817adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋))
20 cfilucfil4 25368 . . . . . 6 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
2211, 21bitrd 279 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) ↔ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)))
23 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2423iscmet 25331 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
2524simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
2613, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅)
27 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘𝐹) = (TopOpen‘𝐹)
2827, 4, 5xmstopn 24476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ CMetSp → (TopOpen‘𝐹) = (MetOpen‘𝐷))
3029oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ CMetSp → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) = ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐))
3130neeq1d 2997 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ CMetSp → (((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3231ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ CMetSp → (∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((MetOpen‘𝐷) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3326, 32mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ CMetSp → ∀𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3433r19.21bi 3248 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)
3534ex 412 . . . . . 6 (𝐹 ∈ CMetSp → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
36353ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3736adantr 480 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFil‘𝐷) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3822, 37sylbid 240 . . 3 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) ∧ 𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)) → (𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
3938ralrimiva 3143 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅))
404, 6, 27iscusp2 24326 . 2 (𝐹 ∈ CUnifSp ↔ (𝐹 ∈ UnifSp ∧ ∀𝑐 ∈ (Fil‘𝑋)(𝑐 ∈ (CauFilu𝑈) → ((TopOpen‘𝐹) fLim 𝑐) ≠ ∅)))
418, 39, 40sylanbrc 583 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐹 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 = (metUnif‘𝐷)) → 𝐹 ∈ CUnifSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  c0 4338   × cxp 5686  cres 5690  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  distcds 17306  TopOpenctopn 17467  ∞Metcxmet 21366  Metcmet 21367  MetOpencmopn 21371  metUnifcmetu 21372  Filcfil 23868   fLim cflim 23957  UnifStcuss 24277  UnifSpcusp 24278  CauFiluccfilu 24310  CUnifSpccusp 24321  ∞MetSpcxms 24342  MetSpcms 24343  CauFilccfil 25299  CMetccmet 25301  CMetSpccms 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-metu 21380  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-fil 23869  df-ust 24224  df-utop 24255  df-usp 24281  df-cfilu 24311  df-cusp 24322  df-xms 24345  df-ms 24346  df-cfil 25302  df-cmet 25304  df-cms 25382
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  25404  recusp  25429
  Copyright terms: Public domain W3C validator