Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2icoseg2 34280
Description: For any point and any open interval of containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑛,𝑏,𝑥   𝐸,𝑏,𝑥   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3 eqid 2737 . . . . . 6 (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑)))
41, 2, 3dya2icoseg 34279 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
54ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
7 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐸)
8 iooex 13410 . . . . . . . . . 10 (,) ∈ V
98rnex 7932 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ V
10 bastg 22973 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ V → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
12 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ ran (,))
1311, 12sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ (topGen‘ran (,)))
1413, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸𝐽)
15 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1615rexmet 24812 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
17 recms 25414 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CMetSp
18 cmsms 25382 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
19 msxms 24464 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ ∞MetSp)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 fld ∈ ∞MetSp
21 retopn 25413 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
221, 21eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
23 rebase 21624 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
24 reds 21634 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
2524reseq1i 5993 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 23, 25xmstopn 24461 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
2827elmopn2 24455 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)))
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3029simprbi 496 . . . . . 6 (𝐸𝐽 → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
3114, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
32 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑))
3332sseq1d 4015 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3433rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3534rspcva 3620 . . . . 5 ((𝑋𝐸 ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
367, 31, 35syl2anc 584 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
37 rpre 13043 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ)
3815bl2ioo 24813 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)))
3938sseq1d 4015 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4037, 39sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4140rexbidva 3177 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
42413ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4336, 42mpbid 232 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)
44 r19.29 3114 . . 3 ((∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
456, 43, 44syl2anc 584 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
46 r19.41v 3189 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
47 sstr 3992 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → 𝑏𝐸)
4847anim2i 617 . . . . . 6 ((𝑋𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
4948anassrs 467 . . . . 5 (((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
5049reximi 3084 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5146, 50sylbir 235 . . 3 ((∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5251rexlimivw 3151 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5345, 52syl 17 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  cfl 13830  cexp 14102  abscabs 15273  distcds 17306  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354  fldcrefld 21622  ∞MetSpcxms 24327  MetSpcms 24328  CMetSpccms 25366   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-fcls 23949  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-cfil 25289  df-cmet 25291  df-cms 25369  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  34283
  Copyright terms: Public domain W3C validator