Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dya2icoseg2 33266
Description: For any point and any open interval of ℝ containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑛,𝑏,π‘₯   𝐸,𝑏,π‘₯   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑛)
Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
3 eqid 2733 . . . . . 6 (βŒŠβ€˜(1 βˆ’ (2 logb 𝑑))) = (βŒŠβ€˜(1 βˆ’ (2 logb 𝑑)))
41, 2, 3dya2icoseg 33265 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
54ralrimiva 3147 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
7 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
8 iooex 13344 . . . . . . . . . 10 (,) ∈ V
98rnex 7900 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ V
10 bastg 22461 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ V β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
12 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ ran (,))
1311, 12sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1413, 1eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ 𝐽)
15 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1615rexmet 24299 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
17 recms 24889 . . . . . . . . . . 11 ℝfld ∈ CMetSp
18 cmsms 24857 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ CMetSp β†’ ℝfld ∈ MetSp)
19 msxms 23952 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ MetSp β†’ ℝfld ∈ ∞MetSp)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ℝfld ∈ ∞MetSp
21 retopn 24888 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = (TopOpenβ€˜β„fld)
221, 21eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„fld)
23 rebase 21151 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
24 reds 21161 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„fld)
2524reseq1i 5976 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((distβ€˜β„fld) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
2622, 23, 25xmstopn 23949 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ ∞MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
2827elmopn2 23943 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝐸 ∈ 𝐽 ↔ (𝐸 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)))
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ 𝐽 ↔ (𝐸 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3029simprbi 498 . . . . . 6 (𝐸 ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
3114, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
32 oveq1 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) = (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑))
3332sseq1d 4013 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3433rexbidv 3179 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3534rspcva 3611 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
367, 31, 35syl2anc 585 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
37 rpre 12979 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
3815bl2ioo 24300 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) = ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)))
3938sseq1d 4013 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4037, 39sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4140rexbidva 3177 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
42413ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4336, 42mpbid 231 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸)
44 r19.29 3115 . . 3 ((βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
456, 43, 44syl2anc 585 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
46 r19.41v 3189 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
47 sstr 3990 . . . . . . 7 ((𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐸)
4847anim2i 618 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
4948anassrs 469 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5049reximi 3085 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5146, 50sylbir 234 . . 3 ((βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5251rexlimivw 3152 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5345, 52syl 17 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  β„cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  2c2 12264  β„€cz 12555  β„+crp 12971  (,)cioo 13321  [,)cico 13323  βŒŠcfl 13752  β†‘cexp 14024  abscabs 15178  distcds 17203  TopOpenctopn 17364  topGenctg 17380  βˆžMetcxmet 20922  ballcbl 20924  MetOpencmopn 20927  β„fldcrefld 21149  βˆžMetSpcxms 23815  MetSpcms 23816  CMetSpccms 24841   logb clogb 26259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-refld 21150  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-fcls 23437  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-cfil 24764  df-cmet 24766  df-cms 24844  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057  df-cxp 26058  df-logb 26260
This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  33269
  Copyright terms: Public domain W3C validator