Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dya2icoseg2 33346
Description: For any point and any open interval of ℝ containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑛,𝑏,π‘₯   𝐸,𝑏,π‘₯   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑛)
Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
3 eqid 2732 . . . . . 6 (βŒŠβ€˜(1 βˆ’ (2 logb 𝑑))) = (βŒŠβ€˜(1 βˆ’ (2 logb 𝑑)))
41, 2, 3dya2icoseg 33345 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
54ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
653ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
7 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
8 iooex 13349 . . . . . . . . . 10 (,) ∈ V
98rnex 7905 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ V
10 bastg 22476 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ V β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
12 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ ran (,))
1311, 12sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1413, 1eleqtrrdi 2844 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ 𝐽)
15 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1615rexmet 24314 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
17 recms 24904 . . . . . . . . . . 11 ℝfld ∈ CMetSp
18 cmsms 24872 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ CMetSp β†’ ℝfld ∈ MetSp)
19 msxms 23967 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ MetSp β†’ ℝfld ∈ ∞MetSp)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ℝfld ∈ ∞MetSp
21 retopn 24903 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = (TopOpenβ€˜β„fld)
221, 21eqtri 2760 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„fld)
23 rebase 21165 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
24 reds 21175 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„fld)
2524reseq1i 5977 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((distβ€˜β„fld) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
2622, 23, 25xmstopn 23964 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ ∞MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
2827elmopn2 23958 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝐸 ∈ 𝐽 ↔ (𝐸 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)))
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ 𝐽 ↔ (𝐸 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3029simprbi 497 . . . . . 6 (𝐸 ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
3114, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
32 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) = (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑))
3332sseq1d 4013 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3433rexbidv 3178 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3534rspcva 3610 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
367, 31, 35syl2anc 584 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
37 rpre 12984 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
3815bl2ioo 24315 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) = ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)))
3938sseq1d 4013 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4037, 39sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4140rexbidva 3176 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
42413ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4336, 42mpbid 231 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸)
44 r19.29 3114 . . 3 ((βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
456, 43, 44syl2anc 584 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
46 r19.41v 3188 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
47 sstr 3990 . . . . . . 7 ((𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐸)
4847anim2i 617 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
4948anassrs 468 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5049reximi 3084 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5146, 50sylbir 234 . . 3 ((βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5251rexlimivw 3151 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5345, 52syl 17 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  β„€cz 12560  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  βŒŠcfl 13757  β†‘cexp 14029  abscabs 15183  distcds 17208  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937  MetOpencmopn 20940  β„fldcrefld 21163  βˆžMetSpcxms 23830  MetSpcms 23831  CMetSpccms 24856   logb clogb 26276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-refld 21164  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-fcls 23452  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-cfil 24779  df-cmet 24781  df-cms 24859  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-logb 26277
This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  33349
  Copyright terms: Public domain W3C validator