Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dya2icoseg2 33277
Description: For any point and any open interval of ℝ containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑛,𝑏,π‘₯   𝐸,𝑏,π‘₯   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑛)
Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . . 6 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
3 eqid 2733 . . . . . 6 (βŒŠβ€˜(1 βˆ’ (2 logb 𝑑))) = (βŒŠβ€˜(1 βˆ’ (2 logb 𝑑)))
41, 2, 3dya2icoseg 33276 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
54ralrimiva 3147 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
7 simp3 1139 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
8 iooex 13347 . . . . . . . . . 10 (,) ∈ V
98rnex 7903 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ V
10 bastg 22469 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ V β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
12 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ ran (,))
1311, 12sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
1413, 1eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ 𝐸 ∈ 𝐽)
15 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
1615rexmet 24307 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
17 recms 24897 . . . . . . . . . . 11 ℝfld ∈ CMetSp
18 cmsms 24865 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ CMetSp β†’ ℝfld ∈ MetSp)
19 msxms 23960 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ MetSp β†’ ℝfld ∈ ∞MetSp)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ℝfld ∈ ∞MetSp
21 retopn 24896 . . . . . . . . . . . 12 (topGenβ€˜ran (,)) = (TopOpenβ€˜β„fld)
221, 21eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„fld)
23 rebase 21159 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
24 reds 21169 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„fld)
2524reseq1i 5978 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((distβ€˜β„fld) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
2622, 23, 25xmstopn 23957 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ ∞MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
2827elmopn2 23951 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝐸 ∈ 𝐽 ↔ (𝐸 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)))
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ 𝐽 ↔ (𝐸 βŠ† ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3029simprbi 498 . . . . . 6 (𝐸 ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
3114, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
32 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) = (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑))
3332sseq1d 4014 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3433rexbidv 3179 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸))
3534rspcva 3611 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐸 βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
367, 31, 35syl2anc 585 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸)
37 rpre 12982 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
3815bl2ioo 24308 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) = ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)))
3938sseq1d 4014 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4037, 39sylan2 594 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4140rexbidva 3177 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
42413ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (𝑋(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑑) βŠ† 𝐸 ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
4336, 42mpbid 231 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸)
44 r19.29 3115 . . 3 ((βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
456, 43, 44syl2anc 585 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
46 r19.41v 3189 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸))
47 sstr 3991 . . . . . . 7 ((𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ 𝑏 βŠ† 𝐸)
4847anim2i 618 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸)) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
4948anassrs 469 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5049reximi 3085 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5146, 50sylbir 234 . . 3 ((βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5251rexlimivw 3152 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ (βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋 βˆ’ 𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) βŠ† 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
5345, 52syl 17 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  βŒŠcfl 13755  β†‘cexp 14027  abscabs 15181  distcds 17206  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  β„fldcrefld 21157  βˆžMetSpcxms 23823  MetSpcms 23824  CMetSpccms 24849   logb clogb 26269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-fcls 23445  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-cfil 24772  df-cmet 24774  df-cms 24852  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-logb 26270
This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  33280
  Copyright terms: Public domain W3C validator