Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2icoseg2 34259
Description: For any point and any open interval of containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑛,𝑏,𝑥   𝐸,𝑏,𝑥   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3 eqid 2734 . . . . . 6 (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑)))
41, 2, 3dya2icoseg 34258 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
54ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
653ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
7 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐸)
8 iooex 13406 . . . . . . . . . 10 (,) ∈ V
98rnex 7932 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ V
10 bastg 22988 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ V → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
12 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ ran (,))
1311, 12sselid 3992 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ (topGen‘ran (,)))
1413, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸𝐽)
15 eqid 2734 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1615rexmet 24826 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
17 recms 25427 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CMetSp
18 cmsms 25395 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
19 msxms 24479 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ ∞MetSp)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 fld ∈ ∞MetSp
21 retopn 25426 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
221, 21eqtri 2762 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
23 rebase 21641 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
24 reds 21651 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
2524reseq1i 5995 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 23, 25xmstopn 24476 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
2827elmopn2 24470 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)))
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3029simprbi 496 . . . . . 6 (𝐸𝐽 → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
3114, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
32 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑))
3332sseq1d 4026 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3433rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3534rspcva 3619 . . . . 5 ((𝑋𝐸 ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
367, 31, 35syl2anc 584 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
37 rpre 13040 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ)
3815bl2ioo 24827 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)))
3938sseq1d 4026 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4037, 39sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4140rexbidva 3174 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
42413ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4336, 42mpbid 232 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)
44 r19.29 3111 . . 3 ((∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
456, 43, 44syl2anc 584 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
46 r19.41v 3186 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
47 sstr 4003 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → 𝑏𝐸)
4847anim2i 617 . . . . . 6 ((𝑋𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
4948anassrs 467 . . . . 5 (((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
5049reximi 3081 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5146, 50sylbir 235 . . 3 ((∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5251rexlimivw 3148 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5345, 52syl 17 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962   × cxp 5686  ran crn 5689  cres 5690  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  cfl 13826  cexp 14098  abscabs 15269  distcds 17306  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368  MetOpencmopn 21371  fldcrefld 21639  ∞MetSpcxms 24342  MetSpcms 24343  CMetSpccms 25379   logb clogb 26821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-fcls 23964  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-cfil 25302  df-cmet 25304  df-cms 25382  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-logb 26822
This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  34262
  Copyright terms: Public domain W3C validator