MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmsss 23657
Description: The restriction of a complete metric space is complete iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cmsss ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmsss
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2 xpss12 5422 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
31, 2sylancom 579 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
43resabs1d 5729 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5 cmsss.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑀)
65fvexi 6513 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ V
76ssex 5081 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
87adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
10 eqid 2778 . . . . . . . 8 (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
119, 10ressds 16542 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
139, 5ressbas2 16411 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐴 = (Base‘𝐾))
1413adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
1514sqxpeqd 5439 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1612, 15reseq12d 5696 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
174, 16eqtrd 2814 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
1814fveq2d 6503 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (CMet‘𝐴) = (CMet‘(Base‘𝐾)))
1917, 18eleq12d 2860 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
20 eqid 2778 . . . . . 6 ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
215, 20cmscmet 23652 . . . . 5 (𝑀 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
2221adantr 473 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
23 eqid 2778 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
2423cmetss 23622 . . . 4 (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
2522, 24syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
2619, 25bitr3d 273 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
27 cmsms 23654 . . . 4 (𝑀 ∈ CMetSp → 𝑀 ∈ MetSp)
28 ressms 22839 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑀s 𝐴) ∈ MetSp)
299, 28syl5eqel 2870 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐾 ∈ MetSp)
3027, 7, 29syl2an 586 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)
31 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32 eqid 2778 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
3331, 32iscms 23651 . . . 4 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3433baib 528 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3530, 34syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3627adantr 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑀 ∈ MetSp)
37 cmsss.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
3837, 5, 20mstopn 22765 . . . . 5 (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
3936, 38syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
4039fveq2d 6503 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
4140eleq2d 2851 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
4226, 35, 413bitr4d 303 1 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  wss 3829   × cxp 5405  cres 5409  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  s cress 16340  distcds 16430  TopOpenctopn 16551  MetOpencmopn 20237  Clsdccld 21328  MetSpcms 22631  CMetccmet 23560  CMetSpccms 23638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ico 12560  df-icc 12561  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-tset 16440  df-ds 16443  df-rest 16552  df-topn 16553  df-topgen 16573  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-haus 21627  df-fil 22158  df-flim 22251  df-xms 22633  df-ms 22634  df-cfil 23561  df-cmet 23563  df-cms 23641
This theorem is referenced by:  lssbn  23658  resscdrg  23664  srabn  23666  ishl2  23676  recms  23686  pjthlem2  23744
  Copyright terms: Public domain W3C validator