MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmsss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmsss 24715
Description: The restriction of a complete metric space is complete iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cmsss ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmsss
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
2 xpss12 5648 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
31, 2sylancom 588 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
43resabs1d 5968 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5 cmsss.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑀)
65fvexi 6856 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ V
76ssex 5278 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀s 𝐴)
10 eqid 2736 . . . . . . . 8 (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
119, 10ressds 17291 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
139, 5ressbas2 17120 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋𝐴 = (Base‘𝐾))
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
1514sqxpeqd 5665 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 × 𝐴) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1612, 15reseq12d 5938 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
174, 16eqtrd 2776 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
1814fveq2d 6846 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (CMet‘𝐴) = (CMet‘(Base‘𝐾)))
1917, 18eleq12d 2832 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
20 eqid 2736 . . . . . 6 ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
215, 20cmscmet 24710 . . . . 5 (𝑀 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
2221adantr 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
23 eqid 2736 . . . . 5 (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
2423cmetss 24680 . . . 4 (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
2522, 24syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
2619, 25bitr3d 280 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
27 cmsms 24712 . . . 4 (𝑀 ∈ CMetSp → 𝑀 ∈ MetSp)
28 ressms 23882 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑀s 𝐴) ∈ MetSp)
299, 28eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐾 ∈ MetSp)
3027, 7, 29syl2an 596 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)
31 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32 eqid 2736 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
3331, 32iscms 24709 . . . 4 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3433baib 536 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3530, 34syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
3627adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑀 ∈ MetSp)
37 cmsss.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
3837, 5, 20mstopn 23805 . . . . 5 (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
3936, 38syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
4039fveq2d 6846 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
4140eleq2d 2823 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
4226, 35, 413bitr4d 310 1 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  s cress 17112  distcds 17142  TopOpenctopn 17303  MetOpencmopn 20786  Clsdccld 22367  MetSpcms 23671  CMetccmet 24618  CMetSpccms 24696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-tset 17152  df-ds 17155  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-haus 22666  df-fil 23197  df-flim 23290  df-xms 23673  df-ms 23674  df-cfil 24619  df-cmet 24621  df-cms 24699
This theorem is referenced by:  lssbn  24716  resscdrg  24722  srabn  24724  ishl2  24734  recms  24744  pjthlem2  24802
  Copyright terms: Public domain W3C validator