MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmsss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmsss 24859
Description: The restriction of a complete metric space is complete iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cmsss ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Proof of Theorem cmsss
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
2 xpss12 5690 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
31, 2sylancom 588 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
43resabs1d 6010 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
5 cmsss.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
65fvexi 6902 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ V
76ssex 5320 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ V)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
9 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
10 eqid 2732 . . . . . . . 8 (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜π‘€)
119, 10ressds 17351 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
139, 5ressbas2 17178 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
1514sqxpeqd 5707 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) = ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)))
1612, 15reseq12d 5980 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))))
174, 16eqtrd 2772 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))))
1814fveq2d 6892 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (CMetβ€˜π΄) = (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)))
1917, 18eleq12d 2827 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄) ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
20 eqid 2732 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
215, 20cmscmet 24854 . . . . 5 (𝑀 ∈ CMetSp β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2221adantr 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
23 eqid 2732 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
2423cmetss 24824 . . . 4 (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
2522, 24syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
2619, 25bitr3d 280 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
27 cmsms 24856 . . . 4 (𝑀 ∈ CMetSp β†’ 𝑀 ∈ MetSp)
28 ressms 24026 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
299, 28eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ 𝐾 ∈ MetSp)
3027, 7, 29syl2an 596 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ MetSp)
31 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 eqid 2732 . . . . 5 ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)))
3331, 32iscms 24853 . . . 4 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
3433baib 536 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
3530, 34syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
3627adantr 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ MetSp)
37 cmsss.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
3837, 5, 20mstopn 23949 . . . . 5 (𝑀 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
3936, 38syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
4039fveq2d 6892 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (Clsdβ€˜π½) = (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
4140eleq2d 2819 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
4226, 35, 413bitr4d 310 1 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  distcds 17202  TopOpenctopn 17363  MetOpencmopn 20926  Clsdccld 22511  MetSpcms 23815  CMetccmet 24762  CMetSpccms 24840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-tset 17212  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-haus 22810  df-fil 23341  df-flim 23434  df-xms 23817  df-ms 23818  df-cfil 24763  df-cmet 24765  df-cms 24843
This theorem is referenced by:  lssbn  24860  resscdrg  24866  srabn  24868  ishl2  24878  recms  24888  pjthlem2  24946
  Copyright terms: Public domain W3C validator