MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmsss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cmsss 25292
Description: The restriction of a complete metric space is complete iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmsss.h 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
cmsss.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
cmsss.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cmsss ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Proof of Theorem cmsss
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
2 xpss12 5693 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
31, 2sylancom 587 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
43resabs1d 6016 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
5 cmsss.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
65fvexi 6911 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ V
76ssex 5321 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 ∈ V)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
9 cmsss.h . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑀 β†Ύs 𝐴)
10 eqid 2728 . . . . . . . 8 (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜π‘€)
119, 10ressds 17391 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
128, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
139, 5ressbas2 17218 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝑋 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ))
1514sqxpeqd 5710 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) = ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)))
1612, 15reseq12d 5986 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))))
174, 16eqtrd 2768 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))))
1814fveq2d 6901 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (CMetβ€˜π΄) = (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)))
1917, 18eleq12d 2823 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄) ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
20 eqid 2728 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
215, 20cmscmet 25287 . . . . 5 (𝑀 ∈ CMetSp β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
23 eqid 2728 . . . . 5 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
2423cmetss 25257 . . . 4 (((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
2522, 24syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ (CMetβ€˜π΄) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
2619, 25bitr3d 281 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ)) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
27 cmsms 25289 . . . 4 (𝑀 ∈ CMetSp β†’ 𝑀 ∈ MetSp)
28 ressms 24448 . . . . 5 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝑀 β†Ύs 𝐴) ∈ MetSp)
299, 28eqeltrid 2833 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ 𝐾 ∈ MetSp)
3027, 7, 29syl2an 595 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ MetSp)
31 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 eqid 2728 . . . . 5 ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) = ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ)))
3331, 32iscms 25286 . . . 4 (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
3433baib 535 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
3530, 34syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((distβ€˜πΎ) β†Ύ ((Baseβ€˜πΎ) Γ— (Baseβ€˜πΎ))) ∈ (CMetβ€˜(Baseβ€˜πΎ))))
3627adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝑀 ∈ MetSp)
37 cmsss.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘€)
3837, 5, 20mstopn 24371 . . . . 5 (𝑀 ∈ MetSp β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
3936, 38syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
4039fveq2d 6901 . . 3 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (Clsdβ€˜π½) = (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))))
4140eleq2d 2815 . 2 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜(MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))))
4226, 35, 413bitr4d 311 1 ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  distcds 17242  TopOpenctopn 17403  MetOpencmopn 21269  Clsdccld 22933  MetSpcms 24237  CMetccmet 25195  CMetSpccms 25273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-icc 13364  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-tset 17252  df-ds 17255  df-rest 17404  df-topn 17405  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-haus 23232  df-fil 23763  df-flim 23856  df-xms 24239  df-ms 24240  df-cfil 25196  df-cmet 25198  df-cms 25276
This theorem is referenced by:  lssbn  25293  resscdrg  25299  srabn  25301  ishl2  25311  recms  25321  pjthlem2  25379
  Copyright terms: Public domain W3C validator