Theorem cmsss 25681

Description: The restriction of a complete metric space is complete iff it is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmsss.h	⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
cmsss.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
cmsss.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cmsss	⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))

Proof of Theorem cmsss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
2		xpss12 5666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3	1, 2	sylancom 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
4	3	resabs1d 6001	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5		cmsss.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
6	5	fvexi 6904	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ V
7	6	ssex 5282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
9		cmsss.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑀 ↾s 𝐴)
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑀) = (dist‘𝑀)
11	9, 10	ressds 17590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
12	8, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
13	9, 5	ressbas2 17425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 = (Base‘𝐾))
14	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
15	14	sqxpeqd 5683	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 × 𝐴) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
16	12, 15	reseq12d 5972	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
17	4, 16	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
18	14	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (CMet‘𝐴) = (CMet‘(Base‘𝐾)))
19	17, 18	eleq12d 2854	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))
21	5, 20	cmscmet 25676	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋))
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
24	23	cmetss 25646	. . . 4 ⊢ (((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (CMet‘𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
25	22, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (CMet‘𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
26	19, 25	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾)) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
27		cmsms 25678	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ CMetSp → 𝑀 ∈ MetSp)
28		ressms 24854	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ MetSp)
29	9, 28	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐾 ∈ MetSp)
30	27, 7, 29	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)
31		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
33	31, 32	iscms 25675	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CMetSp ↔ (𝐾 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
34	33	baib 545	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
35	30, 34	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (CMet‘(Base‘𝐾))))
36	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ MetSp)
37		cmsss.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑀)
38	37, 5, 20	mstopn 24780	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
39	36, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐽 = (MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
40	39	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))))
41	40	eleq2d 2846	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋))))))
42	26, 35, 41	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝑀 ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐾 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  distcds 17446  TopOpenctopn 17601  MetOpencmopn 21677  Clsdccld 23343  MetSpcms 24646  CMetccmet 25584  CMetSpccms 25662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ico 13489  df-icc 13490  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-tset 17456  df-ds 17459  df-rest 17602  df-topn 17603  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-haus 23642  df-fil 24174  df-flim 24267  df-xms 24648  df-ms 24649  df-cfil 25585  df-cmet 25587  df-cms 25665

This theorem is used by:  lssbn  25682  resscdrg  25688  srabn  25690  ishl2  25700  recms  25710  pjthlem2  25768