MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmscsscms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmscsscms 24740
Description: A closed subspace of a complete metric space which is also a subcomplex pre-Hilbert space is a complete metric space. Remark: the assumption that the Banach space must be a (subcomplex) pre-Hilbert space is required because the definition of ClSubSp is based on an inner product. If ClSubSp was generalized to arbitrary topological spaces (or at least topological modules), this assumption could be omitted. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cmscsscms.s 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cmscsscms (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)

Proof of Theorem cmscsscms
StepHypRef Expression
1 cmslssbn.x . . 3 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 cmsms 24715 . . . . 5 (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
32adantr 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ MetSp)
4 ressms 23885 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑈𝑆) → (𝑊s 𝑈) ∈ MetSp)
53, 4sylan 581 . . 3 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (𝑊s 𝑈) ∈ MetSp)
61, 5eqeltrid 2842 . 2 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ MetSp)
7 cphlmod 24541 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
87adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ LMod)
98adantr 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
10 cphphl 24538 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
1110adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ PreHil)
12 cmscsscms.s . . . . . . . 8 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1412, 13csslss 21098 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1511, 14sylan 581 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1613lsssubg 20421 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
179, 15, 16syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
181subgbas 18933 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1917, 18syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
20 eqid 2737 . . . . . 6 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
2112, 20csscld 24616 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
2221adantll 713 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
2319, 22eqeltrrd 2839 . . 3 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
24 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
251, 24ressds 17292 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
2625adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
2726eqcomd 2743 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (dist‘𝑋) = (dist‘𝑊))
2827reseq1d 5937 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
2919, 17eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3130subgss 18930 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
3229, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
33 xpss12 5649 . . . . . . . 8 (((Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
3432, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
3534resabs1d 5969 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
3628, 35eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
3736eleq1d 2823 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
38 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
3930, 38cmscmet 24713 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
4039adantr 482 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
4140adantr 482 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
42 eqid 2737 . . . . . 6 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
4342cmetss 24683 . . . . 5 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
4441, 43syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
453adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ MetSp)
4620, 30, 38mstopn 23808 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
4847eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (TopOpen‘𝑊))
4948fveq2d 6847 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) = (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
5049eleq2d 2824 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
5137, 44, 503bitrd 305 . . 3 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
5223, 51mpbird 257 . 2 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
53 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
54 eqid 2737 . . 3 ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
5553, 54iscms 24712 . 2 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
566, 52, 55sylanbrc 584 1 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911   × cxp 5632  cres 5636  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  s cress 17113  distcds 17143  TopOpenctopn 17304  SubGrpcsubg 18923  LModclmod 20325  LSubSpclss 20395  MetOpencmopn 20789  PreHilcphl 21031  ClSubSpccss 21068  Clsdccld 22370  MetSpcms 23674  ℂPreHilccph 24533  CMetccmet 24621  CMetSpccms 24699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-rest 17305  df-topn 17306  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-topgen 17326  df-pt 17327  df-prds 17330  df-xrs 17385  df-qtop 17390  df-imas 17391  df-xps 17393  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-subrg 20223  df-staf 20307  df-srng 20308  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lmhm 20486  df-lvec 20567  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-cnfld 20800  df-phl 21033  df-ipf 21034  df-ocv 21070  df-css 21071  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-cn 22581  df-cnp 22582  df-t1 22668  df-haus 22669  df-tx 22916  df-hmeo 23109  df-fil 23200  df-flim 23293  df-xms 23676  df-ms 23677  df-tms 23678  df-nm 23941  df-ngp 23942  df-tng 23943  df-nlm 23945  df-clm 24429  df-cph 24535  df-tcph 24536  df-cfil 24622  df-cmet 24624  df-cms 24702
This theorem is referenced by:  bncssbn  24741
  Copyright terms: Public domain W3C validator