Theorem cmscsscms 25532

Description: A closed subspace of a complete metric space which is also a subcomplex pre-Hilbert space is a complete metric space. Remark: the assumption that the Banach space must be a (subcomplex) pre-Hilbert space is required because the definition of ClSubSp is based on an inner product. If ClSubSp was generalized to arbitrary topological spaces (or at least topological modules), this assumption could be omitted. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cmscsscms.s	⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmscsscms	⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)

Proof of Theorem cmscsscms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmslssbn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		cmsms 25507	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ MetSp)
4		ressms 24683	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑊 ↾s 𝑈) ∈ MetSp)
5	3, 4	sylan 591	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑊 ↾s 𝑈) ∈ MetSp)
6	1, 5	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ MetSp)
7		cphlmod 25333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
8	7	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
10		cphphl 25330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
11	10	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ PreHil)
12		cmscsscms.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	12, 13	csslss 21841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	11, 14	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	13	lsssubg 21078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	9, 15, 16	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18	1	subgbas 19191	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
19	17, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
20		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
21	12, 20	csscld 25408	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
22	21	adantll 726	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
23	19, 22	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
24		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
25	1, 24	ressds 17458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
26	25	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
27	26	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (dist‘𝑋) = (dist‘𝑊))
28	27	reseq1d 5977	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
29	19, 17	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31	30	subgss 19188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
32	29, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
33		xpss12 5676	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
34	32, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
35	34	resabs1d 6007	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
36	28, 35	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
37	36	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
38		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
39	30, 38	cmscmet 25505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
40	39	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
41	40	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
42		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
43	42	cmetss 25475	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
44	41, 43	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
45	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ MetSp)
46	20, 30, 38	mstopn 24609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
47	45, 46	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
48	47	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (TopOpen‘𝑊))
49	48	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) = (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
50	49	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
51	37, 44, 50	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
52	23, 51	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
53		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
54		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
55	53, 54	iscms 25504	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
56	6, 52, 55	sylanbrc 594	1 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  distcds 17314  TopOpenctopn 17469  SubGrpcsubg 19181  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052  MetOpencmopn 21512  PreHilcphl 21774  ClSubSpccss 21811  Clsdccld 23173  MetSpcms 24475  ℂPreHilccph 25325  CMetccmet 25413  CMetSpccms 25491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-staf 20942  df-srng 20943  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lmhm 21143  df-lvec 21224  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-phl 21776  df-ipf 21777  df-ocv 21813  df-css 21814  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-t1 23471  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-flim 24096  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-nm 24739  df-ngp 24740  df-tng 24741  df-nlm 24743  df-clm 25222  df-cph 25327  df-tcph 25328  df-cfil 25414  df-cmet 25416  df-cms 25494

This theorem is referenced by:  bncssbn  25533