Theorem cmscsscms 24889

Description: A closed subspace of a complete metric space which is also a subcomplex pre-Hilbert space is a complete metric space. Remark: the assumption that the Banach space must be a (subcomplex) pre-Hilbert space is required because the definition of ClSubSp is based on an inner product. If ClSubSp was generalized to arbitrary topological spaces (or at least topological modules), this assumption could be omitted. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslssbn.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
cmscsscms.s	⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cmscsscms	⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)

Proof of Theorem cmscsscms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmslssbn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		cmsms 24864	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ MetSp)
4		ressms 24034	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑊 ↾s 𝑈) ∈ MetSp)
5	3, 4	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑊 ↾s 𝑈) ∈ MetSp)
6	1, 5	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ MetSp)
7		cphlmod 24690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
10		cphphl 24687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ PreHil)
12		cmscsscms.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
13		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
14	12, 13	csslss 21243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
15	11, 14	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	13	lsssubg 20567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
17	9, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18	1	subgbas 19009	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
20		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
21	12, 20	csscld 24765	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
22	21	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
23	19, 22	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
24		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
25	1, 24	ressds 17354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
27	26	eqcomd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (dist‘𝑋) = (dist‘𝑊))
28	27	reseq1d 5980	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
29	19, 17	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31	30	subgss 19006	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
33		xpss12 5691	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
34	32, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
35	34	resabs1d 6012	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
36	28, 35	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
37	36	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
38		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
39	30, 38	cmscmet 24862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
42		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
43	42	cmetss 24832	. . . . 5 ⊢ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
44	41, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
45	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ MetSp)
46	20, 30, 38	mstopn 23957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
48	47	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (TopOpen‘𝑊))
49	48	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) = (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
50	49	eleq2d 2819	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
51	37, 44, 50	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
52	23, 51	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
53		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
54		eqid 2732	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
55	53, 54	iscms 24861	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
56	6, 52, 55	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  distcds 17205  TopOpenctopn 17366  SubGrpcsubg 18999  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  MetOpencmopn 20933  PreHilcphl 21176  ClSubSpccss 21213  Clsdccld 22519  MetSpcms 23823  ℂPreHilccph 24682  CMetccmet 24770  CMetSpccms 24848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lmhm 20632  df-lvec 20713  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-phl 21178  df-ipf 21179  df-ocv 21215  df-css 21216  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-t1 22817  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-flim 23442  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-nm 24090  df-ngp 24091  df-tng 24092  df-nlm 24094  df-clm 24578  df-cph 24684  df-tcph 24685  df-cfil 24771  df-cmet 24773  df-cms 24851

This theorem is referenced by:  bncssbn  24890