MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmscsscms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmscsscms 24897
Description: A closed subspace of a complete metric space which is also a subcomplex pre-Hilbert space is a complete metric space. Remark: the assumption that the Banach space must be a (subcomplex) pre-Hilbert space is required because the definition of ClSubSp is based on an inner product. If ClSubSp was generalized to arbitrary topological spaces (or at least topological modules), this assumption could be omitted. (Contributed by AV, 8-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cmslssbn.x 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
cmscsscms.s 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cmscsscms (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)

Proof of Theorem cmscsscms
StepHypRef Expression
1 cmslssbn.x . . 3 𝑋 = (𝑊s 𝑈)
2 cmsms 24872 . . . . 5 (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
32adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ MetSp)
4 ressms 24042 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑈𝑆) → (𝑊s 𝑈) ∈ MetSp)
53, 4sylan 580 . . 3 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (𝑊s 𝑈) ∈ MetSp)
61, 5eqeltrid 2837 . 2 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ MetSp)
7 cphlmod 24698 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ LMod)
98adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
10 cphphl 24695 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → 𝑊 ∈ PreHil)
12 cmscsscms.s . . . . . . . 8 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1412, 13csslss 21250 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1511, 14sylan 580 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1613lsssubg 20573 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
179, 15, 16syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
181subgbas 19012 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
1917, 18syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
20 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
2112, 20csscld 24773 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
2221adantll 712 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
2319, 22eqeltrrd 2834 . . 3 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
251, 24ressds 17357 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑆 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
2625adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝑋))
2726eqcomd 2738 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (dist‘𝑋) = (dist‘𝑊))
2827reseq1d 5980 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
2919, 17eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊))
30 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3130subgss 19009 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑊) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
3229, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊))
33 xpss12 5691 . . . . . . . 8 (((Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑋) ⊆ (Base‘𝑊)) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
3432, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)) ⊆ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
3534resabs1d 6012 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
3628, 35eqtr4d 2775 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))))
3736eleq1d 2818 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
38 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
3930, 38cmscmet 24870 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ CMetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
4039adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
4140adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)))
42 eqid 2732 . . . . . 6 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
4342cmetss 24840 . . . . 5 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑊)) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
4441, 43syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))))
453adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ MetSp)
4620, 30, 38mstopn 23965 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
4847eqcomd 2738 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (TopOpen‘𝑊))
4948fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) = (Clsd‘(TopOpen‘𝑊)))
5049eleq2d 2819 . . . 4 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
5137, 44, 503bitrd 304 . . 3 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → (((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)) ↔ (Base‘𝑋) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
5223, 51mpbird 256 . 2 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋)))
53 eqid 2732 . . 3 (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
54 eqid 2732 . . 3 ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) = ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋)))
5553, 54iscms 24869 . 2 (𝑋 ∈ CMetSp ↔ (𝑋 ∈ MetSp ∧ ((dist‘𝑋) ↾ ((Base‘𝑋) × (Base‘𝑋))) ∈ (CMet‘(Base‘𝑋))))
566, 52, 55sylanbrc 583 1 (((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈𝑆) → 𝑋 ∈ CMetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3948   × cxp 5674  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  s cress 17175  distcds 17208  TopOpenctopn 17369  SubGrpcsubg 19002  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  MetOpencmopn 20940  PreHilcphl 21183  ClSubSpccss 21220  Clsdccld 22527  MetSpcms 23831  ℂPreHilccph 24690  CMetccmet 24778  CMetSpccms 24856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-staf 20457  df-srng 20458  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lmhm 20638  df-lvec 20719  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-phl 21185  df-ipf 21186  df-ocv 21222  df-css 21223  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-t1 22825  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-flim 23450  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-nm 24098  df-ngp 24099  df-tng 24100  df-nlm 24102  df-clm 24586  df-cph 24692  df-tcph 24693  df-cfil 24779  df-cmet 24781  df-cms 24859
This theorem is referenced by:  bncssbn  24898
  Copyright terms: Public domain W3C validator