Theorem cnvimadfsn 8171

Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnvimadfsn	⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Proof of Theorem cnvimadfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 6050	. 2 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)}
2		eldifvsn 4773	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
3	2	elv 3464	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)
4		vex 3463	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 3463	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	opelcnv 5861	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7		df-br 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
8	6, 7	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
9	3, 8	anbi12ci 629	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
10	9	exbii 1848	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	abbii 2802	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
12	1, 11	eqtri 2758	1 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  {cab 2713   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923  {csn 4601  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  8172  suppimacnv  8173