Theorem cnvimadfsn 8196

Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnvimadfsn	⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Proof of Theorem cnvimadfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 6083	. 2 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)}
2		eldifvsn 4802	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
3	2	elv 3483	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)
4		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	opelcnv 5895	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7		df-br 5149	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
8	6, 7	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
9	3, 8	anbi12ci 629	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
10	9	exbii 1845	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	abbii 2807	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
12	1, 11	eqtri 2763	1 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  {cab 2712   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  8197  suppimacnv  8198