Theorem cnvimadfsn 8227

Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnvimadfsn	⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Proof of Theorem cnvimadfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 6077	. 2 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)}
2		eldifvsn 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
3	2	elv 3459	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)
4		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	opelcnv 5871	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7		df-br 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
8	6, 7	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
9	3, 8	anbi12ci 641	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
10	9	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	abbii 2830	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
12	1, 11	eqtri 2786	1 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671

This theorem is used by:  suppimacnvss  8228  suppimacnv  8229