Theorem suppimacnvss 8117

Description: The support of functions "defined" by inverse images is a subset of the support defined by df-supp 8105. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppimacnvss	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))

Proof of Theorem suppimacnvss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exsimpl 1876	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
2		pm5.1 830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
3	2	eximi 1843	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
4	1, 3	jca 517	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))))
6	5	ss2abdv 3999	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)} ⊆ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})
7		cnvimadfsn 8116	. . 3 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
9		suppvalbr 8108	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})
10	6, 8, 9	3sstr4d 3972	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  {cab 2719   ≠ wne 2936  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  {csn 4558   class class class wbr 5075  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  (class class class)co 7360   supp csupp 8104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-supp 8105

This theorem is referenced by:  suppimacnv  8118  fsuppinisegfi  32783