Theorem suppimacnvss 8214

Description: The support of functions "defined" by inverse images is a subset of the support defined by df-supp 8202. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppimacnvss	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))

Proof of Theorem suppimacnvss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exsimpl 1867	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → ∃𝑦 𝑥𝑅𝑦)
2		pm5.1 823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
3	2	eximi 1833	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
4	1, 3	jca 511	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) → (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))))
6	5	ss2abdv 4089	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)} ⊆ {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})
7		cnvimadfsn 8213	. . 3 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
9		suppvalbr 8205	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑦 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))})
10	6, 8, 9	3sstr4d 4056	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  (class class class)co 7448   supp csupp 8201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-supp 8202

This theorem is referenced by:  suppimacnv  8215  fsuppinisegfi  32699