Theorem opelcnv 5825

Description: Ordered-pair membership in converse relation. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelcnv.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelcnv.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelcnv	⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem opelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnv.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelcnv.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opelcnvg 5824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
4	1, 2, 3	mp2an 693	1 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427  ⟨cop 4563  ^◡ccnv 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5075  df-opab 5137  df-cnv 5628

This theorem is referenced by:  cnvopab  6089  cnvopabOLD  6090  cnvdif  6096  dfrel2  6142  cnvcnvsn  6172  cnvresima  6183  dfco2  6198  cnviin  6239  fcnvres  6706  cnvf1olem  8049  cnvimadfsn  8111  dmtpos  8177  dftpos4  8184  tpostpos  8185  brsdom2  9028  fsumcom2  15725  fprodcom2  15938  gsumcom2  19939  metustsym  24508  gsumhashmul  33116  cnvco1  35929  cnvco2  35930  cnviun  44065  tposideq  49351