Theorem opelcnv 5855

Description: Ordered-pair membership in converse relation. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelcnv.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelcnv.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelcnv	⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem opelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnv.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelcnv.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opelcnvg 5854	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  ⟨cop 4590  ^◡ccnv 5648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-sb 2093  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-cnv 5657

This theorem is referenced by:  cnvopab  6126  cnvdif  6129  dfrel2  6177  cnvcnvsn  6208  cnvresima  6219  dfco2  6234  cnviin  6275  fcnvres  6743  cnvf1olem  8091  cnvimadfsn  8154  dmtpos  8220  dftpos4  8227  tpostpos  8228  brsdom2  9075  fsumcom2  15803  fprodcom2  16016  gsumcom2  20017  metustsym  24617  gsumhashmul  33249  cnvco1  36114  cnvco2  36115  cnviun  44231  tposideq  49514