Theorem opelcnv 5858

Description: Ordered-pair membership in converse relation. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelcnv.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelcnv.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelcnv	⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem opelcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnv.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelcnv.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		opelcnvg 5857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟨cop 4589  ^◡ccnv 5649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-cnv 5658

This theorem is used by:  cnvopab  6130  cnvdif  6133  dfrel2  6180  cnvcnvsn  6220  cnvresima  6231  dfco2  6246  cnviin  6289  fcnvres  6759  cnvf1olem  8121  cnvimadfsn  8189  dmtpos  8255  dftpos4  8262  tpostpos  8263  brsdom2  9120  fsumcom2  15940  fprodcom2  16151  gsumcom2  20189  metustsym  24874  gsumhashmul  33628  cnvco1  36524  cnvco2  36525  cnviun  44650  tposideq  49996