MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opelcnv 5882
Description: Ordered-pair membership in converse relation. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
opelcnv.1 𝐴 ∈ V
opelcnv.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
opelcnv (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)

Proof of Theorem opelcnv
StepHypRef Expression
1 opelcnv.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 opelcnv.2 . 2 𝐵 ∈ V
3 opelcnvg 5881 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
41, 2, 3mp2an 691 1 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107  Vcvv 3475  cop 4635  ccnv 5676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-cnv 5685
This theorem is referenced by:  cnvopab  6139  cnvdif  6144  dfrel2  6189  cnvcnvsn  6219  cnvresima  6230  dfco2  6245  cnviin  6286  fcnvres  6769  cnvf1olem  8096  cnvimadfsn  8157  dmtpos  8223  dftpos4  8230  tpostpos  8231  brsdom2  9097  fsumcom2  15720  fprodcom2  15928  gsumcom2  19843  metustsym  24064  gsumhashmul  32208  cnvco1  34729  cnvco2  34730  cnviun  42401
  Copyright terms: Public domain W3C validator