Theorem suppimacnv 8118

Description: Support sets of functions expressed by inverse images. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.) (Revised by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppimacnv	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Proof of Theorem suppimacnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
2	1	cbvexvw 2039	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ↔ ∃𝑠 𝑥𝑅𝑠)
3		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑠 ↔ 𝑥𝑅𝑍))
4	3	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))))
5		bianir 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → 𝑥𝑅𝑡)
6		vex 3445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑡 ∈ V
7		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
8		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))
9	7, 8	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍)))
10	6, 9	spcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
13	12	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
14	13	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
15	14	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
16		nne 2937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 = 𝑍)
17		notbi 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍))
18		bianir 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ¬ 𝑥𝑅𝑡)
19		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑍 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
20	19	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
21		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
22	20, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
23	22	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥𝑅𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
26	17, 25	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
27	26	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
30	16, 29	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
31	30	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
32	15, 31	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
33	4, 32	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
34		vex 3445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑠 ∈ V
35		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
36		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑠 ≠ 𝑍))
37	35, 36	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍)))
38	34, 37	spcev 3561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
42	33, 41	pm2.61ine 3016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
43	42	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
44	43	exlimiv 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
45	44	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
46	45	exlimiv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
47	2, 46	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
48	47	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
50	49	ss2abdv 4018	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))} ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
51		suppvalbr 8108	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))})
52		cnvimadfsn 8116	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
53	52	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
54	50, 51, 53	3sstr4d 3990	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) ⊆ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))
55		suppimacnvss 8117	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))
56	54, 55	eqssd 3952	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899  {csn 4581   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  (class class class)co 7360   supp csupp 8104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-supp 8105

This theorem is referenced by:  fsuppeq  8119  fsuppeqg  8120  suppun  8128  mptsuppdifd  8130  suppco  8150  fidmfisupp  9279  fdmfisuppfi  9281  fsuppun  9294  fsuppco  9309  gsumval3a  19836  gsumzf1o  19845  gsumzaddlem  19854  gsumzmhm  19870  gsumzoppg  19877  deg1val  26061  suppun2  32765  suppss3  32804  ffsrn  32809  fpwrelmapffslem  32813  sitgclg  34501  eulerpartlemmf  34534  eulerpartlemgf  34538