Theorem suppimacnv 8119

Description: Support sets of functions expressed by inverse images. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.) (Revised by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppimacnv	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Proof of Theorem suppimacnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
2	1	cbvexvw 2039	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ↔ ∃𝑠 𝑥𝑅𝑠)
3		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑠 ↔ 𝑥𝑅𝑍))
4	3	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))))
5		bianir 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → 𝑥𝑅𝑡)
6		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑡 ∈ V
7		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
8		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))
9	7, 8	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍)))
10	6, 9	spcev 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
13	12	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
14	13	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
15	14	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
16		nne 2937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 = 𝑍)
17		notbi 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍))
18		bianir 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ¬ 𝑥𝑅𝑡)
19		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑍 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
20	19	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
21		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
22	20, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
23	22	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥𝑅𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
26	17, 25	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
27	26	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
30	16, 29	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
31	30	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
32	15, 31	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
33	4, 32	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
34		vex 3434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑠 ∈ V
35		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
36		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑠 ≠ 𝑍))
37	35, 36	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍)))
38	34, 37	spcev 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
42	33, 41	pm2.61ine 3016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
43	42	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
44	43	exlimiv 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
45	44	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
46	45	exlimiv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
47	2, 46	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
48	47	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
50	49	ss2abdv 4006	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))} ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
51		suppvalbr 8109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))})
52		cnvimadfsn 8117	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
53	52	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
54	50, 51, 53	3sstr4d 3978	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) ⊆ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))
55		suppimacnvss 8118	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))
56	54, 55	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629  (class class class)co 7362   supp csupp 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-supp 8106

This theorem is referenced by:  fsuppeq  8120  fsuppeqg  8121  suppun  8129  mptsuppdifd  8131  suppco  8151  fidmfisupp  9280  fdmfisuppfi  9282  fsuppun  9295  fsuppco  9310  gsumval3a  19873  gsumzf1o  19882  gsumzaddlem  19891  gsumzmhm  19907  gsumzoppg  19914  deg1val  26075  suppun2  32776  suppss3  32815  ffsrn  32820  fpwrelmapffslem  32824  sitgclg  34506  eulerpartlemmf  34539  eulerpartlemgf  34543