Theorem suppimacnv 7841

Description: Support sets of functions expressed by inverse images. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.) (Revised by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppimacnv	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Proof of Theorem suppimacnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
2	1	cbvexvw 2044	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ↔ ∃𝑠 𝑥𝑅𝑠)
3		breq2 5070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑠 ↔ 𝑥𝑅𝑍))
4	3	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))))
5		bianir 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → 𝑥𝑅𝑡)
6		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑡 ∈ V
7		breq2 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
8		neeq1 3078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))
9	7, 8	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍)))
10	6, 9	spcev 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
13	12	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
14	13	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
15	14	adantld 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
16		nne 3020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 = 𝑍)
17		notbi 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍))
18		bianir 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ¬ 𝑥𝑅𝑡)
19		breq2 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑍 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
20	19	eqcoms 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
21		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
22	20, 21	syl6bi 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
23	22	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥𝑅𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
25	24	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
26	17, 25	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
27	26	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
28	27	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
30	16, 29	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
31	30	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
32	15, 31	pm2.61i 184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
33	4, 32	syl6bi 255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
34		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑠 ∈ V
35		breq2 5070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
36		neeq1 3078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑠 ≠ 𝑍))
37	35, 36	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍)))
38	34, 37	spcev 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
39	38	ex 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
40	39	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
42	33, 41	pm2.61ine 3100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
43	42	expcom 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
44	43	exlimiv 1931	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
45	44	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
46	45	exlimiv 1931	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
47	2, 46	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
48	47	imp 409	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
50	49	ss2abdv 4044	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))} ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
51		suppvalbr 7834	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))})
52		cnvimadfsn 7839	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
53	52	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
54	50, 51, 53	3sstr4d 4014	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) ⊆ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))
55		suppimacnvss 7840	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))
56	54, 55	eqssd 3984	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933  {csn 4567   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  (class class class)co 7156   supp csupp 7830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-supp 7831

This theorem is referenced by:  frnsuppeq  7842  suppun  7850  mptsuppdifd  7852  suppco  7870  supp0cosupp0OLD  7873  imacosuppOLD  7875  fdmfisuppfi  8842  fsuppun  8852  fsuppco  8865  gsumval3a  19023  gsumzf1o  19032  gsumzaddlem  19041  gsumzmhm  19057  gsumzoppg  19064  deg1val  24690  suppss3  30460  ffsrn  30465  fpwrelmapffslem  30468  sitgclg  31600  eulerpartlemmf  31633  eulerpartlemgf  31637  fidmfisupp  41482