Theorem suppimacnv 8128

Description: Support sets of functions expressed by inverse images. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.) (Revised by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppimacnv	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Proof of Theorem suppimacnv

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
2	1	cbvexvw 2039	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ↔ ∃𝑠 𝑥𝑅𝑠)
3		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑠 ↔ 𝑥𝑅𝑍))
4	3	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) ↔ (𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))))
5		bianir 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → 𝑥𝑅𝑡)
6		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑡 ∈ V
7		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
8		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))
9	7, 8	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍)))
10	6, 9	spcev 3562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ∧ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
13	12	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑡 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
14	13	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
15	14	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
16		nne 2937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ↔ 𝑡 = 𝑍)
17		notbi 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍))
18		bianir 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ¬ 𝑥𝑅𝑡)
19		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑍 = 𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
20	19	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 ↔ 𝑥𝑅𝑡))
21		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥𝑅𝑡 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
22	20, 21	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑥𝑅𝑍 → (¬ 𝑥𝑅𝑡 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
23	22	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑥𝑅𝑡 → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ 𝑡 ≠ 𝑍 ∧ (¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((¬ 𝑥𝑅𝑡 ↔ ¬ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
26	17, 25	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
27	26	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥𝑅𝑍 → ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (𝑡 = 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
30	16, 29	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))))
31	30	pm2.43i 52	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑡 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
32	15, 31	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑍 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
33	4, 32	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
34		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑠 ∈ V
35		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑠))
36		neeq1 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ≠ 𝑍 ↔ 𝑠 ≠ 𝑍))
37	35, 36	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍) ↔ (𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍)))
38	34, 37	spcev 3562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ 𝑠 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → (𝑠 ≠ 𝑍 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
41	40	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ≠ 𝑍 → ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
42	33, 41	pm2.61ine 3016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥𝑅𝑠 ∧ (𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
43	42	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
44	43	exlimiv 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → (𝑥𝑅𝑠 → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
45	44	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
46	45	exlimiv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 𝑥𝑅𝑠 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
47	2, 46	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 → (∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
48	47	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
49	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍)) → ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)))
50	49	ss2abdv 4019	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))} ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
51		suppvalbr 8118	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = {𝑥 ∣ (∃𝑡 𝑥𝑅𝑡 ∧ ∃𝑡(𝑥𝑅𝑡 ↔ 𝑡 ≠ 𝑍))})
52		cnvimadfsn 8126	. . . 4 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
53	52	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)})
54	50, 51, 53	3sstr4d 3991	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) ⊆ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))
55		suppimacnvss 8127	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (𝑅 supp 𝑍))
56	54, 55	eqssd 3953	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑅 supp 𝑍) = (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  {csn 4582   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5633   “ cima 5637  (class class class)co 7370   supp csupp 8114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-supp 8115

This theorem is referenced by:  fsuppeq  8129  fsuppeqg  8130  suppun  8138  mptsuppdifd  8140  suppco  8160  fidmfisupp  9289  fdmfisuppfi  9291  fsuppun  9304  fsuppco  9319  gsumval3a  19849  gsumzf1o  19858  gsumzaddlem  19867  gsumzmhm  19883  gsumzoppg  19890  deg1val  26074  suppun2  32780  suppss3  32819  ffsrn  32824  fpwrelmapffslem  32828  sitgclg  34526  eulerpartlemmf  34559  eulerpartlemgf  34563